Как найти однородную функцию — Исправление недочетов и поиск решений

Прежде чем давать определение однородного дифференциального уравнения, введем понятие об однородных функциях.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.8 Функция двух переменных называется однородной функцией порядка в области , если при любом выполняется следующее равенство

ПРИМЕР 11.1.12 Функция однородная функция третьего порядка, так как

ПРИМЕР 11.1.13 Функция однородная функция нулевого порядка .

Таким образом, для функции выполняется равенство . Отсюда следует, что функция называется однородной функцией нулевого порядка, если при умножении аргументов и на произвольный параметр значения функции не изменяются.

Отношение двух однородных функций одной переменной и того же порядка однородности является однородной функцией нулевой степени.

Однородная функция нулевого порядка может быть записана в виде

. Действительно, пусть однородная функция нулевого порядка. Так как параметр произвольный, то положим ; тогда . Теперь можно дать определение однородного дифференциального уравнения относительно и .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1.9 Дифференциальное уравнение

(11.1.8)

называется однородным, если является однородной функцией нулевого порядка.

Однородное уравнение можно привести к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

(11.1.9)

где новая дифференцируемая искомая функция. Дифференцируя (11.1.9), получим . Подставим выражения и в уравнение (11.1.8), тогда откуда или , , если , то или общий интеграл однородного уравнения.

ПРИМЕР 11.1.13

Решение.

Сделаем подстановку: ; подставляя в уравнение, получим

, разделив переменные, имеем общий интеграл.

Уравнение вида

(11.1.10)

приводится к однородному, если приводится к уравнению с разделяющимися переменными, если

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1. Пусть введем новые переменные

(11.1.11)

где и пока не известные постоянные. Найдем из (11.1.11). Подставляя выражения в данное уравнение, получим

; выберем теперь и таким образом, чтобы

(11.1.12)

Тогда . Это однородное уравнение относительно переменных . Решая это уравнение, получим , но , . Значения и находим из системы (11.1.10);

она совместна, так как определитель этой системы .

2. Пусть теперь . Отсюда Подставляя значения и в уравнение (11.1.10), получим

Для разделения переменных введем новую функцию отсюда ; . Это уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР 11.1.14 ;

Решение.

Проверим .

Введем новые переменные ; уравнение примет вид

отсюда

это однородное уравнение.

Сделаем подстановку

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение:

;

Или возвращаясь к прежним переменны x и y, получим

Онлайн помощь по математике >
Лекции по высшей математике >
Примеры решения задач >

Источник

Дифференциальные
уравнения 1-го порядка называют
однородными, если для их записи
используются однородные функции. Чтобы
понять особенности записи однородного
уравнения, познакомимся с однородными
функциями, как их определяют в
математическом анализе.

§ 1. Однородные функции.

В алгебре многочленназываютоднородным,
если он состоит из членов одного и того
же измерения. Так, многочлен:=есть однородный многочлен 2-й степени.
Если в записиумножить переменныеина множитель,
то весь многочлен приобретёт множительво 2-й степени:=.
В общем случае, для однородного многочлена
степени,
можем записать:=.

Для нас важно, что
свойством однородности могут обладать
и функции более сложной природы. Например,
для функции
=можем записать:=,
и её естественно назвать однородной
функцией 2-й степени.

В общем случае для
функции
понятие однородности может быть принято
в таком виде:

Определение:

(2.1)

Функция

называется однородной функцией
порядка
относительно переменных ,
если при любом значении
верно равенство: =
.

Из определения
следует, что возможна запись:
=.
Это значит, что, в частном случае, функция
может иметь нулевой порядок однородности,
то есть=0.

Замечания:
Показатель степени однородности
может быть любым вещественным числом.
Так, для функции:
=
показатель однородности: .

Так как предполагается
использование однородных функций в
обыкновенных дифференциальных уравнениях,
ограничимся функциями двух переменных:
.
В этом случае для однородной функции
нулевой степени верно:=,
или=.
Если положить:=,
получим:===.
Это значит, что функциязависит только от отношения независимых
переменныхи.

Пусть имеем
однородную функцию:
=∙.
Примем:=.
В этом случае можем записать:=.
Но,==.
Учитывая все выражения, получаем общую
запись для однородной функции степени:=∙.

Замечания:
Запись:
=∙
напоминает операцию вынесения общего
множителя за скобку (в данном случае,
за скобку функции).

☺☺

Пример 2–01:
Задана функция:

=.
Определить является ли эта функция
однородной. Если

–
однородная функция, установить её
порядок.

Решение:

1).
По определению необходимо сделать
замену:
и
,
и посмотреть, что из этого получается.
Итак,
==∙.

Замечания:
При исследовании однородности функции
достаточно применять значение
:
для рассматриваемого промера это
принципиально важно из-за присутствия
корня!

2).
Полученный результат сразу отвечает
на оба вопроса: а) так как множитель
смогли вынести за скобки функции →
заданная функция – однородная; б)
показатель степени
показывает: заданная функция

–
однородная степени (порядка) =
4.

Ответ:
заданная функция – однородная порядка
=
4.

Пример 2–02:
Задана функция:

=.
Можно ли представить её в виде выражения

=∙?

Решение:

1).
Если бы мы не имели результата предыдущего
Примера, мы бы попробовали вынести все
возможные общие множители

за скобки функции. Но, мы знаем:
=∙,
и этим результатом воспользуемся!

2).
Так как общая запись для однородной
функции степени
:

=∙,
то в нашем случае сразу получаем ответ:

=∙.

Ответ:
для заданной функции запись:
=∙
возможна.

Пример 2–03:
Заданы пары: функция → число. Выделите
пары, в которых функция – однородная,
а число – ее порядок :
а) f
=
→ =;

б) f
=
→ =π;
в)
f
=
→ =.

Решение:

1).
Воспользуемся свойством однородной
функции:
=∙,
применяя его к каждой из функций: а)

=∙;
б)
=∙;
в)
=∙.

2).
Следовательно,
в случаях а) и б) пары функция → число,
соответствуют друг другу, в случае в)
неверно указан порядок однородной
функции.

Ответ:
пары а) и б) верно указывают соответствие.

☻

Источник

Как найти общее решение однородного дифференциального уравнения

СОДЕРЖАНИЕ ТЕКУЩЕЙ СТАТЬИ

Однородные ДУ первого порядка
1. Пример 1
2. Пример 2
3. Пример 3
Однородные линейные ДУ второго порядка
1. Пример 4
2. Пример 5

Данный тип задачи часто ставит студентов в тупик. Поэтому они присылают их на решение к нам. Мы написали данную статью, чтобы помочь разобраться в этой теме. Итак, прежде, чем приступать решать дифференциальное уравнение, необходимо понять к какому виду оно принадлежит. Сначала определить порядок, затем уже линейность и однородность. В данном материале рассмотрим однородные уравнения первого и второго порядка и как их решать. В зависимости от этого будет разный алгоритм действий. Так как в первом случае однородность уравнения по переменным, а во втором по правой части. Далее разберемся подробнее об этом.

Однородные ДУ первого порядка

Если после подстановки в уравнение вместо $x$ и $y$ соответствующих $lambda x$ и $lambda y$ можно добиться уничтожения всех $lambda$, то уравнение является однородным первого порядка.

Такие уравнения имеют общий вид $$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,$$ где $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ однородные функции одинакового порядка, то есть выполняются условия $P(lambda x,lambda y) = lambda^n P(x,y)$ и $Q(lambda x,lambda y) = lambda^n Q(x,y)$.

Алгоритм решения:

Проверить уравнение на однородность с помощью $lambda$
Привести уравнение к виду $y’ = f(frac{y}{x})$
Выполнить замену $frac{y}{x} = t$ и $y’ = t’x+t$
Решить уравнение методом разделяющихся переменных.

Пример 1

Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка $$y’=e^frac{y}{x}+frac{y}{x}.$$

Решение

Подставляя $lambda$ перед $x$ и $y$ в исходное уравнение получаем $$y’ = e^frac{lambda y}{lambda x} + frac{lambda y}{lambda x},$$ в котором все $lambda$ сокращаются, и это означает, что перед нами однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Выполняем замену $frac{y}{x} = t Rightarrow y’ = t’x + t$ в исходном уравнении и получаем: $$t’x+t=e^t+t$$ $$t’x=e^t.$$ Данное уравнение с разделяющимися переменными. Записываем его соответствующим образом и переносим всё, что содержит $t$ в левую часть, а то что с $x$ в правую: $$frac{dt}{dx} x=e^t$$ $$frac{dt}{e^t}=frac{dx}{x}.$$ Интегрируем обе части уравнения: $$int frac{dt}{e^t}=int frac{dx}{x}$$ $$-e^{-t} = ln|x|+C.$$

Теперь необходимо выполнить обратную замену $t = frac{y}{x}$, чтобы вернуться к $y$ $$-e^{-frac{y}{x}} = ln|x| + C.$$ Записываем ответ в виде общего интеграла $$e^{-frac{y}{x}}+ln|x|=C.$$

Ответ

$$e^{-frac{y}{x}}+ln|x|=C$$

Пример 2

Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка $$(x^2+2xy)dx+xydy=0.$$

Решение

Подставляем перед всеми иксами и игриками дополнительную константу $lambda$, чтобы убедиться в однородности уравнения: $$( (lambda x)^2 + 2lambda x lambda y)d(lambda x) + lambda x lambda y d(lambda y) = 0$$ $$lambda^3 (x^2+2xy)dx+lambda^3 xydy = 0$$ $$(x^2+2xy)dx+xydy=0.$$ Как видно, все $lambda$ уничтожились, поэтому действительно дано однородное ДУ первого порядка.

Приведем уравнение к виду $y’ = f(frac{y}{x})$. Разделим уравнение на $x^2$ и $dx$. Получим $$(1+2frac{y}{x})+frac{y}{x}frac{dy}{dx} = 0.$$ Теперь выполняем замену $$frac{y}{x}=t, qquad frac{dy}{dx} = t’x+t.$$ Подставляем это в уравнение и получаем $$(1+2t)+t(t’x+t) = 0, $$ и раскрываем скобки и упрощаем: $$1+2t+t’tx+t^2=0$$ $$t’tx + (t+1)^2=0.$$

Получившееся уравнение является ДУ с разделяющимися переменными. Поэтому начинаем резделять переменные $t$ и $x$ по разные стороны от знака равенства. Записываем уравнение в виде $$frac{dt}{dx}tx = -(t+1)^2.$$ Делим обе части на $(t+1)^2$ и $x$, затем умножаем на $dx$ $$frac{tdt}{(t+1)^2} = -frac{dx}{x}.$$

Последнее равенство нужно проинтегрировать, чтобы вытащить $t(x)$ $$int frac{tdt}{(t+1)^2} = — int frac{dx}{x}.$$ Решаем первый интеграл методом разложения: $$int frac{tdt}{(t+1)^2} = int frac{(t+1)-1}{(t+1)^2}dt = int frac{t+1}{(t+1)^2}dt — int frac{dt}{(t+1)^2} = $$ $$ = int frac{dt}{t+1} — int frac{dt}{(t+1)^2} = $$ $$ = ln|t+1| + frac{1}{t+1} + C.$$ Решаем второй интеграл $$int frac{dx}{x} = ln|x| + C.$$ Возвращаемся к равенству двух интегралов и подставляем полученные решения $$ln|t+1| + frac{1}{t+1} = -ln|x|+C.$$

Вспоминаем, что в начале решения задачи была сделана подстановка $frac{y}{x}=t$, и значит, назад нужно вернуться к $y$ $$ln|frac{y}{x}+1|+frac{1}{frac{y}{x}+1} = -ln|x| + C.$$ Выполняем преобразования последнего уравнения: $$ln|frac{x+y}{x}|+frac{x}{y+x}=-ln|x|+C$$ $$ln|x+y|-ln|x|+frac{x}{y+x}=-ln|x|+C$$ $$ln|x+y|+frac{x}{x+y}=C.$$ Выразить $y$ просто так не получится. Поэтому оставим ответ в таком виде, который называется общий интеграл дифференциального уравнения.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ln|x+y|+frac{x}{x+y}=C$$

Пример 3

Решить однородное дифференциальное уравнение $$xy’ sinfrac{y}{x}+x=ysin frac{y}{x}.$$

Решение

Как всегда начинает с проверки на однородность с помощью подстановки $lambda$ в исходное ДУ $$lambda xy’ sinfrac{lambda y}{lambda x}+lambda x=lambda ysin frac{lambda y}{lambda x}.$$ Видим, что все $lambda$ сокращаются и уравнение приобретает вид из условия задачи. Значит, это однородное ДУ первого порядка.

Придадим ему вид $y’=f(frac{y}{x})$ для удобства замены. Для этого разделим обе части уравнения на $x$ $$y’ sinfrac{y}{x}+1=frac{y}{x} sin frac{y}{x}.$$ Теперь делаем подстановку $frac{y}{x}=t$ и $y’=t’x+t$: $$(t’x+t) sin t + 1 = t sin t$$ $$t’x sin t + tsin t+1=tsin t$$ $$t’x sin t=-1.$$ Получили уравнение с разделяющимися переменными. Всё, что с $t$ налево, всё что с $x$ направо: $$frac{dt}{dx} x sin t = -1$$ $$sin t dt = -frac{dx}{x}.$$

Интегрируем обе части равенства: $$int sin t dt = -int frac{dx}{x}$$ $$-cos t = -ln|x|+C.$$ Выполняем обратную замену в последнем уравнении $$cos frac{y}{x} = ln|x|+C.$$ Так как выразить $y$ достаточно тяжело, то запишем ответ в виде общего интеграла $$cos frac{y}{x}-ln|x|=C.$$

Ответ

$$cos frac{y}{x}-ln|x|=C$$

Однородные линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Такие уравнения имеют следующий общий вид $$y»+py’+qy=0, $$ где $p$ и $q$ постоянные коэффициенты. Чтобы решить такие уравнения первым делом нужно составить характеристический многочлен $$lambda^2+plambda + q = 0, $$ который получается путем замены всех $y$ на $lambda$ в степенях, соответствующих порядку производной $y$ $$y» Rightarrow lambda^2, quad y’ Rightarrow lambda, quad y Rightarrow 1.$$ Затем в зависимости от найденных корней $lambda_1$ и $lambda_2$ составляется общее решение:

Если $lambda_1 neq lambda_2$, тогда $y=C_1e^x + C_2e^x$
Если $lambda_1 = lambda_2$, тогда $y=C_1e^x + C_2xe^x$
Если $lambda_{1,2} = alpha pm beta i$, тогда $y=C_1e^{alpha x} cos beta x + C_2 e^{alpha x} sin beta x$.

Пример 4

найти общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка $$y»-9y=0.$$

Решение

Составляем характеристический многочлен путем замены $y$ на $lambda$ в степени, соответствующей порядку производной и находим его корни: $$lambda^2 — 9 = 0$$ $$(lambda — 3)(lambda+3)=0$$ $$lambda_1=3, quad lambda_2=-3.$$

Так как получили действительные корни, отличающиеся друг от друга, то общее решение однородного уравнения будет выглядеть следующим образом $$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}.$$

Ответ

$$y=C_1e^{-3x}+C_2e^{3x}$$

Пример 5

Решить однородное дифференциальное уравнение второго порядка $$y»-6y’+25y=0.$$

Решение

Составим характеристическое уравнение путем замены $y$ на $lambda$ $$lambda^2 — 6lambda + 25 = 0.$$ Решим квадратное уравнение. Вычислим его дискриминант $$D = b^2-4ac = (-6)^2 — 4cdot 1 cdot 25 = 36 — 100 = -64.$$ Теперь найдем значения корней $$lambda_{1,2} = frac{-b pm sqrt{D}}{2} = frac{6pm 8i}{2} = 3pm 4i.$$ В итоге получили комплексно-сопряженные корни, значит, общее решение будет выглядеть $$y = C_1 e^{3x}cos 4x + C_2 e^{3x}sin 4x.$$

Ответ

$$y = C_1 e^{3x}cos 4x + C_2 e^{3x}sin 4x$$

Источник

Однородные дифференциальные уравнения

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся одно родные ДУ первого порядка.

Функция называется однородной функцией -го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель вся функция умножится на , т. е.

Например, функция есть однородная функция второго порядка, поскольку

Дифференциальное уравнение

называется однородным, если функция есть однородная функция нулевого порядка.

Покажем, что однородное ДУ (48.7) можно записать в виде

Если однородная функция нулевого порядка, то, по определению, . Положив , получаем:

Однороднее уравнение (48.8) преобразуется в уравнение с раздел:

или, что то же самое,

Действительно, подставив и в уравнение (48.8), получаем или ,т. е. уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.

Однородное уравнение част о задается в дифференциальной форме:

ДУ (48.10) будет однородным, если и — однородные функции одинакового порядка.

Переписав уравнение (48.10) в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение .

При интегрировании уравнений вида (48.10) нет необходимости предварительно приводить их (но можно) к виду (48.8): подстановка (48.9) сразу преобразует уравнение (48.10) в уравнение с разделяющимися переменными.

Пример №48.6.

Найти общий интеграл уравнения

Решение:

Данное уравнение однородное, т. к. функции и — однородные функции второго порядка.

Положим . Тогдаdy . Подставляем в исходное уравнение:

последнее — уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные

и интегрируем

Обозначим . Тогда

Заменяя на получаем: — общий интеграл исходного уравнения.

Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести виду (48.8):

Затем положить , тогда и т. д.

Замечание. Уравнение вида , , — числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные и , положив , , где и — числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.

Дополнительный пример №48.7.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Источник

Как я и обещал в своей предыдущей статье, сегодня продолжим более детально изучать Дифференциальные уравнения.

§3. Однородные дифференциальные уравнения I-го порядка

Функцию f(x, y) называют однородной функцией порядка mотносительно своих аргументовxиy, если она выполняется тождество

f(tx, ty)= t^mf(x, y) (3.1), где t – любой множитель.

Так, например, функции x²y– xy², 2x²– 3xy однородные: первая – третьего порядка, вторая – первого.

Определение 3.1. Дифференциальное уравнение y’ = f(x, y) (3.2) называется однородным, если его правая часть функция f(x, y) является однородной функцией нулевого порядка относительно своих аргументов x и y.

Интегрирование однородного уравнения с помощью специальной подстановки сводится к интегрированию уравнения с отделяемыми переменными.

Действительно, учитывая нулевой порядок однородности функции f(x, y), для любого t имеем f(tx, ty)= f(x, y).

В частности, если t = 1/x, получим:

Уравнение (3.2) запишется в виде

Введем вспомогательную неизвестную функцию с помощью подстановки: y = x· u, y’ = u + x· u’.

Уравнение (3.2) записывается в виде u + x· u’ = φ(u),

в котором переменные разделяются:

Отсюда находим общий интеграл уравнения:

где C=const.

Наконец, после вычисления интегралов и замены вспомогательной функции u ее выражением через x и y, найдем решение однородного уравнения.

Пример 3.1. Решить “дифур”

Решения. Это однородное Дифференциальное уравнение I-го порядка. Применим подстановку y = x· u, y’ = u + x· u’.

Тогда получим уравнение с переменными, которые можно разделить, относительно вспомогательной функции u.

u +xu’ = u(ln u + 1)

xu’ = uln u

Решая его, получим

Это ОР уравнения.

Замечания. Уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (3.4), в котором функции P(x, y) и Q(x, y) – однородные, относительно своих аргументов x и y функции одного и того же измерения, является однородным и заменой y = ux сводится к уравнению с разделяемыми переменными.

Пример 3.2. Решить “дифур”

Решение. Это однородное уравнение, так как коэффициенты при dxи dy являются однородными функциями I-го порядка. Сделаем замену

y = ux, dy = xdu + udx

Получим “дифур” с переменными, которые можно разделить:

Заменив вспомогательную функцию u = y/x получаем, после преобразований, общий интеграл уравнения:

Пример 3.3. Решить “дифур”

Решения. Произведем следующюю замену

Получим

§4. Линейные дифференциальные уравнения I-го порядка. Уравнение Бернулли

Определение 4.1. Дифференциальное уравнение I-го порядка называется линейным, если и сама неизвестная функция и ее производная входят в это уравнение только в первой степени и не содержит их произведения.

В общем виде линейное дифференциальное уравнения I-го порядка:

y’ + P(x)y = Q(x) (4.1)

Используют несколько приемов решения дифференциального уравнений (4.1). Мы рассмотрим здесь метод Бернулли, согласно которому решение в следующем виде y(x) = u(x) · v(x) (4.3).

Тем самым искомыми становятся функции u(x) и v(x), одну из которых можно выбрать произвольно, а вторая – должна определяться уравнением.

Дифференцируем обе части равенства (4.3)

Подставим выражения для y(x) и y‘(x) в уравнение (4.1). Имеем

Подберем функцию v так, чтобы выполнялось равенство

Тогда функция u должна удовлетворять уравнению

Уравнение (4.4) является уравнением с переменными, которые можно разделить,

В результате интегрирования получим.

Если C = 0, получим

Подставляя значение v(x) в уравнение (4.5), получим относительно u(x) дифференциальное уравнение I-го порядка с переменными, которые можно разделить,

Окончательно по формуле (4.3) получим ОР уравнения (4.1) в виде

При решении конкретных линейных дифференциальных уравнений I-го порядка можно пользоваться готовыми формулами (4.6) или использовать прием Бернулли.

Пример 4.1. Решить “дифур”

Решения. Это линейное неоднородное уравнение I-го порядка, решаем методом Бернулли. Сведем его к виду (4.1.) (хотя это необязательно). Для чего обе части уравнения умножим на х. Получим:

y’ – 2xy = (x – x³)· e^x2.

Произведем замену

y= u· v.

Дифференцируем это выражение по x: