Как найти предел от показательной функции — Исправление недочетов и поиск решений

Вычисление пределов степенно-показательных функций

Пусть функции

и

заданы на множестве

и функция

на нем положительна. Функция

называется степенно
— показательной.

Предположим, что

– точка сгущения множества

и существуют конечные пределы

,
,

где
.
Нужно найти

Воспользовавшись
тождествами
,
запишем исходное выражение в виде

В силу теоремы 6.1
получим

При заданных
значениях пределов будем иметь

Из проведенного
рассуждения видно, что предположение
о существовании конечных пределов

и

можно отбросить. Действительно, для
нахождения предела выражения

достаточно знать предел произведения

(конечный или бесконечный).

1) Пусть
.
Тогда
.

2) Если
,
то
.

3) Если
,
то
.

Заметим, что
произведение

может оказаться неопределенностью типа
.
Тогда и исходное выражение

представляет собой неопределенность.
Перечислим возникающие здесь
неопределенности.

1) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

2) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

3) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

Во всех указанных
случаях (,

)
можно раскрыть неопределенность

в показателе степени, преобразуя ее к
типу

и используя соответствующие эквивалентные
бесконечно малые.

Замечание 8.3.
Приведенные выше рассуждения справедливы
и для вычисления предела степенно-показательной
функции в бесконечно удаленной точке:
.

Пример 8.2.
Вычислить
.

Решение.
Здесь
,
,
поэтому имеем неопределенность типа
.
Преобразуем выражение под знаком
предела:

В показателе
степени имеем неопределенность типа
.
Заменой

при

на эквивалентную бесконечно малую

раскрываем ее:

Таким образом,

Замечание 8.4.
Аналогично доказывается равенство
.

Пределы

образуют две формы
одного и того же равенства, которое
также является замечательным
пределом
и часто служат определением числа
.

Задачи к §8

Задача
1. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем
неопределенность типа
.
Преобразуем числитель дроби к форме
произведения:

Затем
заменим бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда
получим

Ответ:
.

Задача
2. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Преобразуем знаменатель, воспользовавшись
свойствами логарифмической функции, и
выделим в аргументе логарифма слагаемое,
равное 1:

Заменим
бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Числитель разложим на множители:

Тогда
получим:

Ответ:
.

Задача
3. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Функцию

в точке

тоже заменим на эквивалентную бесконечно
малую
.

Тогда

Ответ:
.

Задача
4. Вычислить

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Преобразуем
знаменатель:

и
заменим его на эквивалентную бесконечно
малую
.
Тогда получим

Ответ:
.

Задача
5. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Числитель

можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Чтобы
воспользоваться соотношением (8.4),
преобразуем знаменатель:

и
заменим его эквивалентной бесконечно
малой
.

Тогда

Ответ:

.

Задача
6. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к выражению

соотношение (8.3), представим его в виде:

и
заменим бесконечно малую функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Знаменатель же представим в виде:

и,
используя соотношения (8.2) и (8.8), заменим
его эквивалентной бесконечно малой
.
Учитывая проведенные выкладки и
соотношение (8.4), получим:

Ответ:

.

Задача
7. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7, получим

Ответ:

.

Задача
8. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7 и формулы приведения для
тригонометрических функций, получим

Ответ:

.

Задача
9. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к числителю соотношение
(8.2), преобразуем его следующим образом:

Теперь
числитель согласно соотношению (8.2)
можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Преобразуем
знаменатель

Заменяем,
используя соотношение (8.1),

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда

Ответ:

.

Задача
10. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя приемы, описанные выше, получим

Ответ:
.

Задача
11. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя теоремы 6.2 и 6.1, получим

Получили
неопределенность типа
.
Преобразуем выражение с помощью формул
приведения, затем переходим к эквивалентным
бесконечно малым. В итоге получим

Ответ:
.

Задача
12. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Выделим

в основании степени:

Заметим,
что

при
.

Справедлива
цепочка равенств

Заменяя
логарифм эквивалентной бесконечно
малой согласно соотношению (8.2) и используя
замечание 6.4 для раскрытия неопределенности,
получим

Ответ:
.

Задача
13^⁴.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Введем переменную
.
Если
,
то
.

Выделим

в основании степени:

тогда

Заметим,
что

при
.
Заменим функцию

эквивалентной бесконечно малой
,
будем иметь

Используя
теорему 7.3, окончательно получим

Ответ:
.

Задача
14. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Поскольку

вычислим
сначала
.
Мы имеем дело с неопределенностью типа
.

Воспользовавшись
последовательно соотношениями (8.2) и
(8.1), будем иметь

Ответ:
.

Задача
15. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Воспользуемся формулой

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.
Для этого требуется раскрыть
неопределенность типа
.
Преобразуем ее в неопределенность типа

и воспользуемся эквивалентностью
бесконечно малых:

Ответ:
.

Задача
16. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа

.
Преобразуем исходное предельное
выражение

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.

Ответ:
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Пределы со степенями: показательная, степенная и показательно-степенная функции

Пределы со степенями бывают различных видов в зависимости от положения неизвестной $x$ в пределе. Рассмотрим примеры решений для следующих ситуаций:

Показательная функция
$$limlimits_{xto a} a^{f(x)} = a^{limlimits_{xto a} f(x)} $$
Степенная функция
$$ limlimits_{xto a} (f(x))^a = bigg(limlimits_{xto a} f(x) bigg)^a $$
Показательно-степенная функция
$$limlimits_{xto a} bigg(f(x)bigg)^{g(x)} = limlimits_{xto a} frac{ln(f(x))}{frac{1}{g(x)}} $$

Пример 1

Найти предел показательной функции $limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}}$

Решение

Подставив точку $x=2$ в предел получим неопределенность $2^{big(frac{0}{0}big)}$. Итак, перенесем знак предела в показатель и попробуем его вычислить путем разложения числителя по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

$$limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}} = 2^{limlimits_{xto 2} frac{(x-2)(x+2)}{x-2}} = $$

Сокращаем числитель со знаменателем на $x-2$ и вычисляем предел степени.

$$ =2^{limlimits_{xto 2} (x+2)} = 2^{2+2} = 2^4 = 16 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}} = 16$$

Пример 2

Решить предел степенной функции $limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3$

Решение

Внесем знак предела внутрь скобок, а степень останется при этом снаружи.

$$limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = bigg(limlimits_{xto 0} frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = $$

При подстановке точки $x=0$ в предел получаем неопределенность $frac{0}{0}$. Для её устранения воспользуемся таблицей эквивалентностей пределов.

$$sin x^2 sim x^2$$ $$ 1-cos x sim frac{x^2}{2}$$

Подставляем эквивалентные функции в предел и сокращаем $x$.

$$ = bigg(limlimits_{xto 0} frac{x^2}{frac{x^2}{2}}bigg)^3 = bigg(limlimits_{xto 0} frac{2x^2}{x^2} bigg)^3 = 2^3 = 8$$

Ответ

$$limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = 8$$

Пример 3

Вычислить предел показательно-степенной функции $limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} $

Решение

Если подставим $x=0$, то получим предел ноль в степени ноль $(0^0)$. Превратим это в другую неопределенность $(frac{infty}{infty})$ с помощью третьей формулы.

$$limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} = limlimits_{xto 0} frac{ln (tg ;x)}{frac{1}{sin x}} = frac{infty}{infty} = $$

Используем правило Лопиталя для продолжения решения. По нему, как известно, предел отношения функций равен пределу отношения производных от этих функций.

$$ = limlimits_{xto 0} frac{(ln (tg ;x))’}{(frac{1}{sin x})’} = limlimits_{xto 0} frac{frac{frac{1}{cos^2 x}}{tg ;x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = $$

Преобразуем числитель в нормальный вид с помощью формулы $tg ; x = frac{sin x}{cos x}$ и выполняем все необходимые сокращения.

$$ = limlimits_{xto 0} frac{frac{1}{sin x cos x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = -limlimits_{xto 0} frac{sin x}{cos^2 x} = $$

Теперь подставляя точку $x=0$ возможно получить окончательный ответ.

$$ = — frac{sin 0}{cos^2 x} = -frac{0}{1} = 0 $$

Ответ

$$limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} = 0$$

Источник

При вычислении пределов от показательно-степенной функции пользуются либо формулой , либо вторым замечательным пределом.

Пример №1.

Вычислить .

Решение:

, так как

Пример №1.

Вычислить .

Решение:

Заметим, что , а при . Следовательно, имеется неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Получим, что

так как

Пример №2.

Вычислить .

Решение:

в силу непрерывности . Вычислим

Следовательно, .

Пример №3.

Вычислить .

Решение:

Так как , то в данном случае отсутствует неопределенность и

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Источник

Рассмотрим два следствия из 2-го замечательного предела, с помощью которых можно найти предел показательной функции, в том числе, предел экспоненты.

$[I.mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^x} - 1}}{x} = 1]$

$[II.mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{a^x} - 1}}{x} = ln a.]$

Эти формулы можно применять и для случаев, когда на месте x стоит f(x), при условии, что при x→0, f(x)→0:

$[(Ia).mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{f(x)}} - 1}}{{f(x)}} = 1,f(x) to 0,]$

$[(IIa).mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{a^{f(x)}} - 1}}{{f(x)}} = ln a,f(x) to 0.]$

Проиллюстрируем, как найти предел показательной функции, в частности, предел экспоненты, на примерах.

Найти предел функции:

$[1)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{3x}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{ - 2x}} cdot ( - 2x)}}{{3x}} = ]$

Сокращаем дробь на x. Получаем в числителе выражение вида (Ia), а значит, можем применить это следствие из 2-го замечательного предела:

$[ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{ - 2x}} - 1}}{{ - 2x}} cdot ( - 2)}}{3} = frac{{1 cdot ( - 2)}}{3} = - frac{2}{3}.]$

$[2)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{3x}} - {a^{7x}}}}{{5x}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{({e^{3x}} - 1) - ({a^{7x}} - 1)}}{{5x}} = ]$

Здесь мы вычли и прибавили единицу, поэтому в итоге значение выражения, стоящего в числителе, не изменилось.

$[ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} cdot 3x - frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} cdot 7x}}{{5x}} = ]$

Выносим общий множитель x за скобки и сокращаем на него:

$[ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{x(frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} cdot 3 - frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} cdot 7)}}{{5x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{3x}} - 1}}{{3x}} cdot 3 - frac{{{a^{7x}} - 1}}{{7x}} cdot 7}}{5} = ]$

В числителе получили выражения вида (Ia) и (IIа)

$[ = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{1 cdot 3 - ln 7 cdot 7}}{5} = frac{{3 - 7ln 7}}{5}.]$

$[3)mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{{e^{10x}} - 1}}{{sin 11x}} = left[ {frac{0}{0}} right] = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{10x}} - 1}}{{10x}} cdot 10x}}{{frac{{sin 11x}}{{11x}} cdot 11x}} = mathop {lim }limits_{x to 0} frac{{frac{{{e^{10x}} - 1}}{{10x}} cdot 10}}{{frac{{sin 11x}}{{11x}} cdot 11}} = ]$

В числителе — выражение вида (Ia), в знаменателе — 1й замечательный предел:

$[ = frac{{1 cdot 10}}{{1 cdot 11}} = frac{{10}}{{11}}.]$

Источник