Нами были рассмотрены действия сложения, вычитания и умножения матриц на число. Еще одним действием над ними является умножение. Выполняется оно сложнее, а само правило может показаться немного странным. При его выполнении важно уметь определять размер матриц. Это понятие было рассмотрено в теме «Что такое матрица».
Онлайн-калькулятор
Как умножать матрицы
Приступим к рассмотрению умножения матриц.
Нам известно, что складывать и вычитать можно матрицы, которые имеют одинаковый размер. С умножением дела обстоят немного сложнее.
Какие матрицы можно умножать
Матрицу P можно умножить на матрицу K только в том случае, если число столбцов матрицы P равняется числу строк матрицы K. Матрицы, для которых данное условие не выполняется, умножать нельзя.
Пример 1
Определим, можно ли умножить матрицу
K=(15271810)K=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix} на матрицу L=(3516)L=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}.
Матрица KK состоит из 2 строк и 2 столбцов, а матрица LL — из 2 строк и 1 столбца. Число столбцов матрицы KK равно числу строк матрицы LL, значит, матрицу KK можно умножить на матрицу LL.
Пример 2
Переставим матрицы местами и определим, можно ли умножить матрицу
F=(3516)F=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix} на матрицу C=(15271810)C=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix}.
Матрица FF состоит из 2 строк и 1 столбца, а матрица CC — из 2 строк и 2 столбцов. Число столбцов матрицы FF не равно числу строк матрицы CC, значит, матрицу FF нельзя умножить на матрицу CC.
Произведение матрицы AA размера m×nmtimes n и матрицы BB размера n×kntimes k — это матрица CC размера m×kmtimes k, в которой элемент cijc_{ij} равен сумме произведений элементов ii строки матрицы AA на соответствующие элементы jj столбца матрицы B:cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnjB: c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{in}b_{nj}.
Умножение матриц осуществляется путем умножения строки на столбец. Находятся произведения первого элемента строки и первого элемента столбца, второго элемента строки и второго элемента столбца и т.д. Затем полученные произведения суммируются.
Алгоритм нахождения произведения матриц
- определить размеры матриц;
- если число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы, то выполнять умножение.
Рассмотрим пример умножения матрицы
A=(a11a12a21a22a31a32a41a42)A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\a_{41}&a_{42}end{pmatrix}
на матрицу
B=(b11b12b13b21b22b23)B=begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}end{pmatrix}.
Матрица AA состоит из 4 строк и 2 столбцов, а матрица BB — из 2 строк и 3 столбцов. Число столбцов матрицы AA равно числу строк матрицы BB, значит, можно найти произведение C=A⋅BC=Acdot B. Причем матрица CC будет иметь размер 4×34times 3. Найдем элементы c12c_{12} (выделен красными стрелками) и c33c_{33} (выделен синими стрелками):
Для того чтобы найти элемент c12c_{12} нужно перемножать соответствующие элементы 1 строки матрицы AA и 2 столбца матрицы B:c12=a11⋅b12+a12⋅b22B: c_{12}=a_{11}cdot b_{12}+a_{12}cdot b_{22}. Для того чтобы найти элемент c33c_{33} нужно перемножать соответствующие элементы 3 строки матрицы AA и 3 столбца матрицы BB: c33=a31⋅b13+a32⋅b23c_{33}=a_{31}cdot b_{13}+a_{32}cdot b_{23}. Так находят все элементы.
Таким образом, матрица CC может быть найдена следующим образом:
A⋅B=(a11a12a21a22a31a32a41a42)⋅(b11b12b13b21b22b23)=Acdot B=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}\a_{41}&a_{42}end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}end{pmatrix}=
=(a11⋅b11+a12⋅b21a11⋅b12+a12⋅b22a11⋅b13+a12⋅b23a21⋅b11+a22⋅b21a21⋅b12+a22⋅b22a21⋅b13+a22⋅b23a31⋅b11+a32⋅b21a31⋅b12+a32⋅b22a31⋅b13+a32⋅b23a41⋅b11+a42⋅b21a41⋅b12+a42⋅b22a41⋅b13+a42⋅b23)=begin{pmatrix}a_{11}cdot b_{11}+a_{12}cdot b_{21}&a_{11}cdot b_{12}+a_{12}cdot b_{22}&a_{11}cdot b_{13}+a_{12}cdot b_{23}\a_{21}cdot b_{11}+a_{22}cdot b_{21}&a_{21}cdot b_{12}+a_{22}cdot b_{22}&a_{21}cdot b_{13}+a_{22}cdot b_{23}\a_{31}cdot b_{11}+a_{32}cdot b_{21}&a_{31}cdot b_{12}+a_{32}cdot b_{22}&a_{31}cdot b_{13}+a_{32}cdot b_{23}\a_{41}cdot b_{11}+a_{42}cdot b_{21}&a_{41}cdot b_{12}+a_{42}cdot b_{22}&a_{41}cdot b_{13}+a_{42}cdot b_{23}end{pmatrix}
Произведение B⋅ABcdot A нельзя найти, поскольку число столбцов матрицы BB неравно числу строк матрицы AA.
Найти произведение матрицы C=(15271810)C=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix} на матрицу F=(3516)F=begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}.
Матрица CC имеет размер 2×22times 2, матрица FF имеет размер 2×12times 1, значит, размер матрицы произведения будет 2×12times 1.
C⋅F=(15271810)⋅(3516)=(15⋅35+27⋅1618⋅35+10⋅16)=(957790)Ccdot F=begin{pmatrix}15&27\18&10end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}35\16end{pmatrix}=begin{pmatrix}15cdot 35+27cdot 16\18cdot 35+10cdot 16end{pmatrix}=begin{pmatrix}957\790end{pmatrix}.
Как отмечалось выше, произведение матриц F⋅CFcdot C невозможно.
Найти произведение матриц K⋅LKcdot L и L⋅KLcdot K, если K=(12171314)K=begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix} на матрицу L=(18111210)L=begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix}.
Матрица KK имеет размер 2×22times 2, матрица LL имеет размер 2×22times 2, значит, размер матрицы произведения будет 2×22times 2.
K⋅L=(12171314)⋅(18111210)=(12⋅18+17⋅1212⋅11+17⋅1013⋅18+14⋅1213⋅11+14⋅10)=(420302402283)Kcdot L=begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix}=begin{pmatrix}12cdot 18+17cdot 12&12cdot 11+17cdot 10\13cdot 18+14cdot 12&13cdot 11+14cdot 10end{pmatrix}=begin{pmatrix}420&302\402&283end{pmatrix}
Произведение L⋅KLcdot K существует и его размер — 2×22times 2.
L⋅K=(18111210)⋅(12171314)=(18⋅12+11⋅1318⋅17+11⋅1412⋅12+10⋅1312⋅17+10⋅14)=(359460274344)Lcdot K=begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix}=begin{pmatrix}18cdot 12+11cdot 13&18cdot 17+11cdot 14\12cdot 12+10cdot 13&12cdot 17+10cdot 14end{pmatrix}=begin{pmatrix}359&460\274&344end{pmatrix}
Произведение двух матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей, т.е. оно некоммутативно: A⋅B≠B⋅AAcdot Bneq Bcdot A.
Так, для матриц K=(12171314)K=begin{pmatrix}12&17\13&14end{pmatrix} и L=(18111210)L=begin{pmatrix}18&11\12&10end{pmatrix} из рассмотренного примера K⋅L≠L⋅KKcdot L neq Lcdot K.
Перестановочные матрицы
Перестановочные, или коммутирующие, матрицы – матрицы, для которых выполняется равенство A⋅B=B⋅AAcdot B=Bcdot A. Они обязательно квадратные.
Проверить, являются ли перестановочными матрицы CC и DD, если C=(2342)C=begin{pmatrix}2&3\4&2end{pmatrix}, D=(3343)D=begin{pmatrix}3&3\4&3end{pmatrix}.
Найдем произведения этих матриц C⋅DCcdot D и D⋅CDcdot C.
C⋅D=(2342)⋅(3343)=(2⋅3+3⋅42⋅3+3⋅34⋅3+2⋅44⋅3+2⋅3)=(18152018)Ccdot D=begin{pmatrix}2&3\4&2end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}3&3\4&3end{pmatrix}=begin{pmatrix}2cdot 3+3cdot 4&2cdot 3+3cdot 3\4cdot 3+2cdot 4&4cdot 3+2cdot 3end{pmatrix}=begin{pmatrix}18&15\20&18end{pmatrix},
D⋅C=(3343)⋅(2342)=(3⋅2+3⋅43⋅3+3⋅24⋅2+3⋅44⋅3+3⋅2)=(18152018)Dcdot C=begin{pmatrix}3&3\4&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}2&3\4&2end{pmatrix}=begin{pmatrix}3cdot 2+3cdot 4&3cdot 3+3cdot 2\4cdot 2+3cdot 4&4cdot 3+3cdot 2end{pmatrix}=begin{pmatrix}18&15\20&18end{pmatrix}.
Таким образом, для заданных матриц выполняется равенство C⋅DCcdot D и D⋅CDcdot C, поэтому они являются перестановочными.
Проверить, являются ли перестановочными матрицы FF и HH, если F=(3421)F=begin{pmatrix}3&4\2&1end{pmatrix}, H=(0593)H=begin{pmatrix}0&5\9&3end{pmatrix}.
Найдем произведения этих матриц F⋅HFcdot H и H⋅FHcdot F.
F⋅H=(3421)⋅(0593)=(3⋅0+4⋅93⋅5+4⋅32⋅0+1⋅92⋅5+1⋅3)=(3627913)Fcdot H=begin{pmatrix}3&4\2&1end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}0&5\9&3end{pmatrix}=begin{pmatrix}3cdot 0+4cdot 9&3cdot 5+4cdot 3\2cdot 0+1cdot 9&2cdot 5+1cdot 3end{pmatrix}=begin{pmatrix}36&27\9&13end{pmatrix},
H⋅F=(0593)⋅(3421)=(0⋅3+5⋅20⋅4+5⋅19⋅3+3⋅29⋅4+3⋅1)=(1053339)Hcdot F=begin{pmatrix}0&5\9&3end{pmatrix}cdot begin{pmatrix}3&4\2&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}0cdot 3+5cdot 2&0cdot 4+5cdot 1\9cdot 3+3cdot 2&9cdot 4+3cdot 1end{pmatrix}=begin{pmatrix}10&5\33&39end{pmatrix}.
Таким образом, для заданных матриц не выполняется равенство F⋅HFcdot H и H⋅FHcdot F, поэтому они не являются перестановочными.
Контрольные работы на заказ онлайн от практикующих исполнителей!
Произведение матриц
Для того, чтобы найти произведение матриц нужно строки левой матрицы умножить на столбцы правой матрицы. $$begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13} \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix} times begin{pmatrix} b_{11}&*&* \ b_{21}&*&* \ b_{31}&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} c_{11}&*&* \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$
Умножение строки на столбец производим по правилу скалярного произведения. То есть находим сумму произведений соответствующих элементов. Например, при умножении первой строки на первый столбец получаем $$c_{11}=a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}.$$
Обязательно перед умножением матриц необходимо убедиться, чтобы число столбцов левой матрицы совпадало с числом строк правой матрицы. Только в этом случае матрицы можно перемножать. В результате получается матрица, у которой число строк равняется количеству строк левой матрицы, а количество столбцов равно числу столбцов правой матрицы. $$ underbrace{A}_{n times p} times underbrace{B}_{p times m} = underbrace{C}_{ntimes m}$$
Важное замечание!
Умножение матриц не коммутативно, т.е. $AB neq BA$.
| Пример 1 |
| Найти произведение матриц $Atimes B$ $$A=begin{pmatrix} 2&1 \ -3&4 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&0 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Проверяем, что число столбцов матрицы $A$ равно числу строк матрицы $B$. Далее берем первую строчку левой матрицы и умножаем её на первый столбец второй матрицы. $$A times B = begin{pmatrix} 2&1 \*&* end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&* \ 2&* end{pmatrix}= begin{pmatrix} 2cdot1+1cdot2 &* \*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 4&* \*&* end{pmatrix}$$ Теперь умножаем первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$A times B = begin{pmatrix} 2&1 \*&* end{pmatrix} times begin{pmatrix} *&-3 \ *&0 end{pmatrix}= begin{pmatrix} *&2cdot(-3)+1cdot0 \*&* end{pmatrix}=begin{pmatrix} *&-6 \*&* end{pmatrix}$$ Далее вторую строчку левой матрицы и умножаем на первый столбец второй матрицы. $$A times B = begin{pmatrix} *&* \-3&4 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&* \ 2&* end{pmatrix}= begin{pmatrix} *&* \(-3)cdot1+4cdot2&* end{pmatrix}=begin{pmatrix} *&* \5&* end{pmatrix}$$ И осталось умножить первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$A times B = begin{pmatrix} *&* \-3&4 end{pmatrix} times begin{pmatrix} *&-3 \ *&0 end{pmatrix}= begin{pmatrix} *&* \ *&(-3)cdot(-3)+4cdot0 end{pmatrix}=begin{pmatrix} *&* \*&9 end{pmatrix}$$ Вот теперь можно составить полный ответ. $$Atimes B=begin{pmatrix} 2&1 \ -3&4 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&-3 \ 2&0 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 4&-6 \ 5&9 end{pmatrix}$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$A times B = begin{pmatrix} 4&-6 \ 5&9 end{pmatrix}$$ |
| Пример 2 |
| Умножить матрицы $Atimes B$ $$A = begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Убеждаемся, что число столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ для того, чтобы можно было выполнить умножение. Так как количество строк в $A$ равно двум, а количество столбцов в $B$ равно 2, то в результате должна получиться матрица с размерностью два на два. $$A times B = begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} *&* \ *&* end{pmatrix}$$ Умножаем первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2cdot1+3cdot2+0cdot1&* \ *&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&* \*&* end{pmatrix}$$ Умножим первую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&2cdot0+3cdot(-1)+0cdot(-2) \ *&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \*&* end{pmatrix}$$ Аналогично поступаем теперь со второй строкой левой матрицы. Умножаем её на первый столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \ 1cdot1+(-1)cdot2+2cdot1&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \1&* end{pmatrix}$$ Умножим вторую строку левой матрицы на второй столбец правой матрицы.$$begin{pmatrix} 2&3&0 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0 \ 2&-1 \ 1&-2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \ 1&1cdot0+(-1)cdot(-1)+2cdot(-2) end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3 \1&-3 end{pmatrix}$$ Вот таким образом можно перемножить матрицы разной размерности. |
| Ответ |
| $$Atimes B = begin{pmatrix} 8&-3 \1&-3 end{pmatrix}$$ |
| Пример 3 |
| Найти произведение матриц $Atimes B$ $$A = begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Умножаем первую строку левой матрицы на первый столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 2cdot1+3cdot2+0cdot1 &*&* \*&*&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&*&* \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Перемножим первую строку матрицы $A$ со вторым столбцом матрицы $B$. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&2cdot0+3cdot(-1)+0cdot(-2)&* \*&*&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&* \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Найдем произведение первой строки матрицы $A$ на третий столбец матрицы $B$. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&2cdot2+3cdot(-2)+0cdot4 \*&*&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ *&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Возьмем вторую строку левой матрицы и умножим на первый столбец правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \(-1)cdot1+2cdot2+3cdot1&*&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&*&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Аналогично умножим вторую строчку на второй столбец. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&(-1)cdot0+2cdot(-1)+3cdot(-2)&* \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&* \ *&*&* end{pmatrix}$$ Таким же образом перемножим вторую строчку с третьим столбцом. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&(-1)cdot2+2cdot(-2)+3cdot4 \ *&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ *&*&* end{pmatrix}$$ Аналогично поступаем с третьей строкой левой матрицы, умножая её на три столбца правой матрицы. $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1cdot1+(-1)cdot2+2cdot1&*&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&*&* end{pmatrix}$$ $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&1cdot0+(-1)cdot(-1)+2cdot(-2)&* end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&-3&* end{pmatrix}$$ $$begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix} times begin{pmatrix} 1&0&2 \ 2&-1&-2 \ 1&-2&4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&-3&1cdot2+(-1)cdot(-2)+2cdot4 end{pmatrix} = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&-3&12 end{pmatrix}$$ |
| Ответ |
| $$Atimes B = begin{pmatrix} 8&-3&-2 \ 6&-8&6 \ 1&-3&12 end{pmatrix}$$ |
| Пример 4 |
| Найти произведение матриц $Atimes B$ $$A = begin{pmatrix} 2&3&0 \ -1&2&3 \ 1&-1&2 end{pmatrix}, B = begin{pmatrix} 1&0&2 \ 1&-2&4 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
| Количество столбцов в матрице $A$ равно трём и не совпадает с числом строк в матрице $B$, поэтому нельзя выполнить произведение $A times B$, но вот наоборот произведение $B times A$ можно сделать, так как количество столбцов в матрице $B$ равно количеству строк в $A$. Но так как в условии требуется вариант $Atimes B$, то ответ прост: нельзя выполнить умножение. |
| Ответ |
| Матрицы нельзя перемножить |
Мы помним, что матрицы – это таблицы взаимосвязанных элементов, которые позволяют упростить математические вычисления и систематизировать определённую информацию. Их можно складывать, вычитать, умножать между собой. В этой статье подробнее остановимся на последнем алгоритме – матричном произведении.
Умножение матриц — определение
Матричное умножение – это одна из основных операций, которая проводится исключительно с согласованными матрицами.
При произведении матриц A и B получается новая матрица C. В математическом виде формула будет выглядеть так:
Но для начала разберёмся, что такое согласованные матрицы.
Согласованные матрицы
Согласованными матрицами называют матрицы вида A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k], где количество столбцов А равно количеству строк В.
Индексы показывают координаты равных элементов.
Для того, чтобы умножить А и В, нужно взять строку в первой матрице и столбец во второй, перемножить одинаковые элементы и сложить полученные произведения.
Основные свойства матричного произведения
Размеры, то есть количество строк (m) и столбцов (n), влияют на особенности матричного произведения. Следовательно, для двух главных видов – квадратных и прямоугольных – действуют разные свойства произведения. Однако умножение любого вида всегда некоммуникативное. Это означает, что матрицы нельзя менять местами (АВ ≠ ВА).
Умножение квадратных матриц
Для квадратных матриц существует единичная матрица Е. В ней элементы по главной диагонали равны единице, а оставшиеся – нулю. Произведение любой квадратной матрицы на неё не влияет на результат.
В математическом виде это выглядит так: ЕА = АЕ = А
Также существует обратная матрица А (-1), при умножении на которую исходная A = [m ☓ n] даёт в результате единичную матрицу E.
Следовательно, формула такова: АА(-1) = Е
Умножение прямоугольных матриц
Существуют четыре основных свойства умножения:
- Сочетательное свойство, или ассоциативность: (AB)C = A(BC)
- Распределительное свойство, или дистрибутивность: А(В+С) = АВ + АС / (А+В)С = АС + ВС
- Умножение на единичную матрицу: ЕА = А
- Умножение на нулевую матрицу: 0А = 0
Напомним, что у нулевой матрицы все элементы равны нулю.
Произведение трех матриц
Произведение АВС можно получить двумя альтернативными способами:
- Найти АВ и умножить на С
- Найти ВС и умножить на А
(АВ) С = А (ВС)
Данное свойство называется ассоциативностью матричного умножения и действует на все виды согласованных матриц. Сами они не переставляются, меняется только порядок их умножения.
Умножение матрицы на число
Для умножения на число необходимо умножить каждый матричный элемент на это число:
Дроби вносить не нужно, поскольку они могут затруднить дальнейшие операции.
Умножение матрицы на вектор
Здесь работает правило «строка на столбец».
При умножении на вектор-столбец важно, чтобы количество столбцов в матрице совпадало с количеством строк в векторе-столбце. Результатом произведения будет вектор-столбец.
При умножении на вектор-строку матрица должна быть только вектором-столбцом. Важно, чтобы количество строк в векторе-столбце совпадало с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом произведения будет квадратная матрица.
Примеры задач на умножение матриц
Задача №1: выполнить умножение и найти С, если A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k] равны.
Решение:
c11 = a11·b11 + a12·b21 = 4·3 + 2·(-3) = 12 — 6 = 6
c12 = a11·b12 + a12·b22 = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12
c21 = a21·b11 + a22·b21 = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27
c22 = a21·b12 + a22·b22 = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9
Ответ:
Задача №2: вычислить С, если А = [m ☓ n] и вектор-столбец В равны.
Решение:
c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·1 + (-1)·2 + 3·(-1) = -3
c21 = a11·b12 + a12·b22 = 4⋅1 + 2⋅2 + 0⋅2 = 8
c31 = a21·b11 + a22·b21 = −1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅(−1) = 0
Ответ:
Изучение матричных операций очень увлекательное, но сложное занятие. Если у вас нет времени на учёбу, ФениксХэлп может помочь в решении контрольных и самостоятельных работ, написании статей и диссертаций.
Содержание:
- Матрицы: основные определения и понятия
- Умножение матрицы на число
- Сложение и вычитание матриц
- Умножение матриц
- Транспонирование матрицы
- Минор и алгебраическое дополнение
- Вычисление определителя
- Нахождение обратной матрицы
- Нахождение ранга матрицы
Матрицы широко применяются в математике для
компактной записи СЛАУ или систем дифференциальных уравнений. Тогда количество
строк матрицы соответствует количеству уравнений системы, а количество столбцов равно количеству неизвестных. Матричный
аппарат позволяет свести решение громоздких СЛАУ к компактным
операциям над матрицами.
На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач.
Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию матриц и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по матрицам, прочитать
все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Примеры по темам:
- Матрицы: основные определения и понятия
- Умножение матрицы на число
- Сложение и вычитание матриц
- Умножение матриц
- Транспонирование матрицы
- Минор и алгебраическое дополнение
- Вычисление определителя
- Нахождение обратной матрицы
- Нахождение ранга матрицы
Матрицы: основные определения и понятия
Теоретический материал по теме — основные определения и понятия матриц.
Пример
Задание. Чему равен элемент $ a_{23} $
матрицы $ A=left( begin{array}{rrr}{1} & {4} & {0} \ {-1} & {3} & {7}end{array}right) $ ?
Решение. Находим элемент, который стоит на пересечении второй строки и третьего столбца:
Таким образом, $a_{23}=7$.
Ответ. $a_{23}=7$
Умножение матрицы на число
Теоретический материал по теме — умножение матрицы на число.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Пусть $A=left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)$ .
Найти матрицу 2$A$.
Решение. $2 A=2 cdot left( begin{array}{r}{3} \ {-1}end{array}right)=left( begin{array}{c}{2 cdot 3} \ {2 cdot(-1)}end{array}right)=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$
Ответ. $2 A=left( begin{array}{r}{6} \ {-2}end{array}right)$
Сложение и вычитание матриц
Теоретический материал по теме — сложение и вычитание матриц.
Пример
Задание. Найти $A+B$, если
$A=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)$,
$B=left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)$
Решение. $C=A+B=left( begin{array}{rrr}{1} & {-2} & {4} \ {2} & {0} & {-1}end{array}right)+left( begin{array}{lll}{5} & {2} & {3} \ {4} & {6} & {2}end{array}right)=$
$=left( begin{array}{rrr}{1+5} & {-2+2} & {4+3} \ {2+4} & {0+6} & {-1+2}end{array}right)=left( begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$
Ответ. $C=left( begin{array}{lll}{6} & {0} & {7} \ {6} & {6} & {1}end{array}right)$
Пример
Задание. Найти матрицу $C=A-3 B$,
если $A=left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right), B=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {1} & {2} \ {0} & {0}end{array}right)$
Решение. $C=A-3 B=left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right)-3 cdot left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {1} & {2} \ {0} & {0}end{array}right)=$
$left( begin{array}{rr}{1} & {2} \ {2} & {-1} \ {3} & {0}end{array}right)-left( begin{array}{rr}{-3} & {3} \ {3} & {6} \ {0} & {0}end{array}right)=left( begin{array}{cc}{1-(-3)} & {2-3} \ {2-3} & {-1-6} \ {3-0} & {0-0}end{array}right)=left( begin{array}{rr}{4} & {-1} \ {-1} & {-7} \ {3} & {0}end{array}right)$
Ответ. $C=left( begin{array}{rr}{4} & {-1} \ {-1} & {-7} \ {3} & {0}end{array}right)$
Умножение матриц
Теоретический материал по теме — умножение матриц.
Пример
Задание. Вычислить $A B$ и $B A$,
если $A=left( begin{array}{rr}{1} & {-1} \ {2} & {0} \ {3} & {0}end{array}right), B=left( begin{array}{ll}{1} & {1} \ {2} & {0}end{array}right)$
Решение. Так как $A=A_{3 times 2}$ , а
$B=B_{2 times 2}$ , то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица
$C=C_{3 times 2}$ , а это матрица вида $C=left( begin{array}{cc}{c_{11}} & {c_{12}} \ {c_{21}} & {c_{22}} \ {c_{31}} & {c_{32}}end{array}right)$ .
Вычисли элементы матрицы $C$ :
$ c_{11}=a_{11} cdot b_{11}+a_{12} cdot b_{21}=1 cdot 1+(-1) cdot 2=-1 $
$ c_{12}=a_{11} cdot b_{12}+a_{12} cdot b_{22}=1 cdot 1+(-1) cdot 0=1 $
$ c_{21}=a_{21} cdot b_{11}+a_{22} cdot b_{21}=2 cdot 1+0 cdot 2=2 $
$ c_{22}=a_{21} cdot b_{12}+a_{22} cdot b_{22}=2 cdot 1+0 cdot 0=2 $
$ c_{31}=a_{31} cdot b_{11}+a_{32} cdot b_{21}=3 cdot 1+0 cdot 2=3 $
$ c_{31}=a_{31} cdot b_{12}+a_{32} cdot b_{22}=3 cdot 1+0 cdot 0=3 $
Итак, $C=A B=left( begin{array}{rl}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$ .
Выполним произведения в более компактном виде:
$=left( begin{array}{rrr}{1 cdot 1+(-1) cdot 2} & {1 cdot 1+(-1) cdot 0} \ {2 cdot 1+0 cdot 2} & {2 cdot 1+0 cdot 0} \ {3 cdot 1+0 cdot 2} & {3 cdot 1+0 cdot 0}end{array}right)=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$
Найдем теперь произведение $D=B A=B_{2 times 2} cdot A_{3 times 2}$. Так как
количество столбцов матрицы $B$ (первый сомножитель) не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ (второй сомножитель), то данное произведение
неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.
Ответ. $A B=left( begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {2} & {2} \ {3} & {3}end{array}right)$ .
В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы
$B$ не совпадает с
количеством строк матрицы $A$ .
Транспонирование матрицы
Теоретический материал по теме — транспонирование матрицы.
Пример
Задание. Найти матрицу $A^{T}$, если
$A=left( begin{array}{rl}{1} & {0} \ {-2} & {3}end{array}right)$
Решение. $A^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {0} \ {-2} & {3}end{array}right)^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {-2} \ {0} & {3}end{array}right)$
Ответ. $A^{T}=left( begin{array}{rr}{1} & {-2} \ {0} & {3}end{array}right)$
Минор и алгебраическое дополнение
Теоретический материал по теме — минор и алгебраическое дополнение.
Пример
Задание. Найти минор
$M_{23}$ к элементу
$a_{23}$ определителя
$left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {1} & {0} & {3} \ {7} & {8} & {4}end{array}right|$ .
Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:
тогда $M_{23}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Ответ. $M_{23}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Пример
Задание. Найти алгебраическое дополнение
$A_{23}$ к элементу
$a_{23}$ определителя
$left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {1} & {0} & {3} \ {7} & {8} & {4}end{array}right|$ .
Решение. $A_{23}=(-1)^{2+3} cdot M_{23}=(-1)^{5} cdot left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|=-left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Ответ. $A_{23}=-left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {7} & {8}end{array}right|$
Вычисление определителя
Теоретический материал по теме — методы вычисления определителей.
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$
Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.
Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$
$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.
$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$
$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Пример
Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$
$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$
Ответ. $Delta=-80$
Нахождение обратной матрицы
Теоретический материал по теме — нахождение обратной матрицы.
Пример
Задание. Для матрицы $A=left( begin{array}{ll}{7} & {4} \ {5} & {3}end{array}right)$
найти обратную методом присоединенной матрицы.
Решение. Приписываем к заданной матрице
$A$ справа единичную матрицу второго порядка:
$Aleft|E=left( begin{array}{ll|ll}{7} & {4} & {1} & {0} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right.$
От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right.$
От второй строки отнимаем две первых:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {1} & {1} & {-2} & {3}end{array}right)right.$
Первую и вторую строки меняем местами:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|r|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {2} & {1} & {1} & {-1}end{array}right)right.$
От второй строки отнимаем две первых:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {0} & {-1} & {5} & {-7}end{array}right)right.$
Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:
$Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {0} & {3} & {-4} \ {0} & {1} & {-5} & {7}end{array}right)right.$
Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в
правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.
Таким образом, получаем, что $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right)$
Ответ. $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right)$
Пример
Задание. Найти обратную матрицу для $A=left( begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right)$
Решение. Шаг 1. Находим определитель: $Delta=left| begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right|=2-1=1 neq 0$
Шаг 2. $A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$
Шаг 3. $A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$
Ответ. $A^{-1}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right)$
Пример
Задание. Найти обратную матрицу к матрице $A=left( begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right)$
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
$Delta=left| begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1) cdot(-1)+2 cdot 3 cdot 2+0 cdot 1 cdot 1-$
$-1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 neq 0$
Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную.
Обратная матрица $A^{-1}$ к матрице
$A$ находится по формуле:
$A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot widetilde{A}^{T}$
Найдем союзную матрицу $check{A}$ , для этого вычислим алгебраические
дополнения к элементам матрицы $A$ :
$A_{11}=(-1)^{1+1} left| begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {3} & {-1}end{array}right|=(-1) cdot(-1)-3 cdot 1=1-3=-2$
$A_{12}=(-1)^{1+2} left| begin{array}{rr}{2} & {1} \ {1} & {-1}end{array}right|=-[2 cdot(-1)-1 cdot 1]=-(-2-1)=3$
$A_{13}=(-1)^{1+3} left| begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {1} & {3}end{array}right|=2 cdot 3-1 cdot(-1)=6+1=7$
$A_{21}=(-1)^{2+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {3} & {-1}end{array}right|=-[0 cdot(-1)-3 cdot 2]=-(0-6)=6$
$A_{22}=(-1)^{2+2} left| begin{array}{rr}{1} & {2} \ {1} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-1 cdot 2=-1-2=-3$
$A_{23}=(-1)^{2+3} left| begin{array}{cc}{1} & {0} \ {1} & {3}end{array}right|=-[1 cdot 3-1 cdot 0]=-(3-0)=-3$
$A_{31}=(-1)^{3+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {-1} & {1}end{array}right|=0 cdot 1-(-1) cdot 2=0+2=2$
$A_{32}=(-1)^{3+2} left| begin{array}{cc}{1} & {2} \ {2} & {1}end{array}right|=-[1 cdot 1-2 cdot 2]=-(1-4)=3$
$A_{33}=(-1)^{3+3} left| begin{array}{rr}{1} & {0} \ {2} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-2 cdot 0=-1-0=-1$
Таким образом, $tilde{A}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {3} & {7} \ {6} & {-3} & {-3} \ {2} & {3} & {-1}end{array}right)$
Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):
$widetilde{A}^{T}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$
Итак, $A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$
Ответ. $A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right)$
Нахождение ранга матрицы
Теоретический материал по теме — нахождение ранга матрицы.
Пример
Задание. Найти ранг матрицы $A=left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {4} & {8} & {18} & {7} \ {10} & {18} & {40} & {17} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Решение. С помощью элементарных преобразований над ее строками приведем матрицу $A$ к
ступенчатому виду. Для этого вначале от третьей строки отнимем две вторых:
$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {4} & {8} & {18} & {7} \ {2} & {2} & {4} & {3} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
От второй строки отнимаем четвертую строку, умноженную на 4; от третьей — две четвертых:
$A sim left( begin{array}{rrrr}{0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {-20} & {-50} & {-5} \ {0} & {-12} & {-30} & {-3} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Ко второй строке прибавим пять первых, к третьей — три третьих:
$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Меняем местами первую и вторую строчки:
$A sim left( begin{array}{cccc}{0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {1} & {7} & {17} & {3}end{array}right)$
Далее четвертую и первую строки:
$A sim left( begin{array}{cccc}{1} & {7} & {17} & {3} \ {0} & {4} & {10} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {0} \ {0} & {0} & {0} & {0}end{array}right) Rightarrow r a n g A=2$
Ответ. $operatorname{rang} A=2$
Пример
Задание. Найти ранг матрицы $A=left( begin{array}{rrrr}{1} & {2} & {-1} & {-2} \ {2} & {4} & {3} & {0} \ {-1} & {-2} & {6} & {6}end{array}right)$ ,
используя метод окаймления миноров.
Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам
матрицы $A$ . Рассмотрим, например, минор
$M_{1}=1 neq 0$ . расположенный в первой строке и первом
столбце. Окаймляем его с помощью второй строки и второго столбца, получаем минор
$M_{2}^{1}=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {2} & {4}end{array}right|=0$ ; рассмотрим еще один минор второго
порядка, для этого минор $M_{1}$ окаймляем при
помощи второй строки и третьего столбца, тогда имеем минор $M_{2}^{2}=left| begin{array}{rr}{1} & {-1} \ {2} & {3}end{array}right|=5 neq 0$ ,
то есть ранг матрицы не меньше двух. Далее рассматриваем миноры третьего порядка, которые окаймляют минор
$M_{2}^{2}$ . Таких миноров два: комбинация
третьей строки со вторым столбцом или с четвертым столбцом. Вычисляем эти миноры:
$M_{3}^{1}=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {-1} \ {2} & {4} & {3} \ {-1} & {-2} & {6}end{array}right|=0$
так как содержит два пропорциональных столбца (первый и второй); второй минор
$M_{3}^{2}=left| begin{array}{rrr}{1} & {-1} & {-2} \ {2} & {3} & {0} \ {-1} & {6} & {6}end{array}right|$
преобразуем следующим образом: к первой строке прибавим третью, а ко второй две третьих:
$M_{3}^{2}=left| begin{array}{rrr}{0} & {5} & {4} \ {0} & {15} & {12} \ {-1} & {6} & {6}end{array}right|=0$
И так как первая и вторая строки пропорциональны, то минор равен нулю.
Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка равны нулю. А, значит, ранг матрицы $A$
равен двум: $operatorname{rang} A=2$
Ответ. $operatorname{rang} A=2$
Читать первую тему — основные определения и понятия матриц,
раздела матрицы.
Умноже́ниема́триц —
одна из основных операций над матрицами.
Матрица, получаемая в результате операции
умножения, называется произведе́ниемма́триц.
Произведением матрицы 
размеров
на
матрицу
размеров
называется
матрица
размеров
,
элементы которой вычисляются по формуле
|
|
(14.5) |
где 
,
.
Операция
умножения двух матриц выполнима только
в том случае, если число столбцов в
первом сомножителе равно числу строк
во втором; в этом случае говорят, что
форма матрицсогласована.
В частности, умножение всегда выполнимо,
если оба сомножителя — квадратные
матрицы одного
и того же порядка.
Найти
произведения матриц AB и BA,
если
и 
Р
е ш е н и е: Имеем
↑
назад
в содержание
↑
(38)87.Какие операции называют коммутативными? Покажите на примерах, что умножение матриц не коммутативно.
Коммутативность
= Перестановочность.
Обычные
числа переставлять можно: 
, а
матрицы в общем случае не перестановочны: 
.
Какие
матрицы можно умножать?
Чтобы
матрицу 
можно
было умножить на матрицу 
нужно, чтобы
число столбцов матрицы 
равнялось
числу строк матрицы 
.
Пример:
Можно
ли умножить матрицу 
на
матрицу 
?
,
значит, умножать данные матрицы можно.
А
вот если матрицы переставить местами,
то, в данном случае, умножение уже
невозможно!
,
следовательно, выполнить умножение
невозможно:
Не
так уж редко встречаются задания с
подвохом, когда студенту предлагается
умножить матрицы, умножение которых
заведомо невозможно.
Следует
отметить, что в ряде случаев можно
умножать матрицы и так, и так.
Например,
для матриц, 
и 
возможно
как умножение 
,
так и умножение 
↑
назад
в содержание
↑
(39)88.Что такое единичная и обратная матрицы? Как строится (по Гауссу) обратная матрица?
Пусть a
– квадратная матрица порядка n.
Обратной к ней матрице называется такая
матрица A-1,
что A-1*A=E
(здесь A-1
и E
– квадратные матрицы того же порядка,
причём E
– единичная матрица).
Это определение
вовсе не подразумевает, что обратная
матрица существует для любой матрицы
A.
Примеры
-
не
существует -
не
существует
не
не
(0 0) – эта строка
приводит к тому, что первая строка
произведения этой матрицы на любую
другую состоит из одних нулей (в единичной
матрице это не так)
|
Определения |
||||
|
Нахождение
обратной матрицы методом Гаусса.
|
Исходная |
|
A = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Найдем |
|
Для |
|
Применяя |
|
Приведя |
|
Последовательность |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
Элементы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Ответ |
|
A-1 = |
|
|
|
|
|||||||
|
|
↑
назад
в содержание
↑
Соседние файлы в папке Math
- #
- #