Как найти производную геометрической прогрессии

Комментарии преподавателя

 Предел числовой последовательности

Чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность – част­ный слу­чай функ­ции, ко­то­рая за­да­на на мно­же­стве на­ту­раль­ных чисел. Неко­то­рые чис­ло­вые по­сле­до­ва­тель­но­сти схо­дят­ся, то есть имеют пре­дел, тогда пишут  либо по-ино­му: когда , это озна­ча­ет, что при до­ста­точ­но боль­ших  , .

Более точно, если у нас есть пре­дел и его  – окрест­ность (рис. 1), то на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся в -окрест­но­сти точки .

Члены последовательности находятся в -окрестности точки b

Рис. 1.Члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся в -окрест­но­сти точки 

 Определение предела числовой последовательности

При­мер 1

По­сле­до­ва­тель­ность . Пре­дел этой по­сле­до­ва­тель­но­сти , это озна­ча­ет, что при до­ста­точ­но боль­ших , все  на­хо­дят­ся вб­ли­зи от нуля. Может ли быть здесь два пре­де­ла? До­ка­жем, что если по­сле­до­ва­тель­ность имеет пре­дел, то он толь­ко один.

Вот по­сле­до­ва­тель­ность  и два пре­де­ла (рис. 2).

Рис. 2.По­сле­до­ва­тель­ность  и два пре­де­ла 

Что зна­чит ? Это озна­ча­ет, что най­дет­ся такая малая окрест­ность точки , что на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся в этой -окрест­но­сти.

А что зна­чит ? Это озна­ча­ет, что на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся в -окрест­но­сти точки . Но воз­мож­но ли это? Между  и  есть некое рас­сто­я­ние (рис. 3).

Рис. 3. Рас­сто­я­ние между  и 

Вы­бе­рем , -окрест­но­сти не пе­ре­се­ка­ют­ся. На­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­хо­дят­ся в ε-окрест­но­сти одной точки и вто­рой точки, но эти ε-окрест­но­сти не пе­ре­се­ка­ют­ся. Таким об­ра­зом, если у по­сле­до­ва­тель­но­сти есть пре­дел, то он один.

Опре­де­ле­ние: число  на­зы­ва­ет­ся пре­де­лом по­сле­до­ва­тель­но­сти , если в любой за­ра­нее вы­бран­ной -окрест­но­сти точки , , со­дер­жат­ся все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти на­чи­ная с неко­то­ро­го но­ме­ра (рис. 4).

Рис. 4.

Число  может быть очень малым. Схо­дя­щи­е­ся по­сле­до­ва­тель­но­сти – те по­сле­до­ва­тель­но­сти, ко­то­рые имеют пре­дел.

 Свойства сходящейся числовой последовательности

Если по­сле­до­ва­тель­ность схо­дит­ся, то:

  1. толь­ко к од­но­му пре­де­лу;
  2. она огра­ни­че­на.

Как узнать, что по­сле­до­ва­тель­но­сти схо­дят­ся? Для неко­то­рых по­сле­до­ва­тель­но­стей это можно сде­лать. Если по­сле­до­ва­тель­ность мо­но­тон­на и огра­ни­че­на, то она схо­дит­ся.

 Теорема Вейерштрасса

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме Вей­ер­штрас­са

По­сле­до­ва­тель­ность воз­рас­та­ет. Число точек не огра­ни­че­но, по­сле­до­ва­тель­ность огра­ни­че­на чис­лом . Зна­чит, к числу  либо к лю­бо­му дру­го­му числу все точки по­сле­до­ва­тель­но­сти сгу­ща­ют­ся. Это на­гляд­но по­ка­зы­ва­ет, что мо­но­тон­ность и огра­ни­чен­ность – два свой­ства, ко­то­рые яв­ля­ют­ся до­ста­точ­ны­ми для того, чтобы по­сле­до­ва­тель­ность имела пре­дел. В этом смысл тео­ре­мы Вей­ер­штрас­са (рис. 5).

 Теорема для вычисления пределов конкретных последовательностей

Даны две по­сле­до­ва­тель­но­сти и ,  и . По­сле­до­ва­тель­но­сти схо­дя­щи­е­ся.

  1.  – новая по­сле­до­ва­тель­ность, ее пре­дел . Пре­дел суммы по­сле­до­ва­тель­но­стей, равен сумме пре­де­лов этих по­сле­до­ва­тель­но­стей.
  2. . Этот пре­дел равен про­из­ве­де­нию , то есть про­из­ве­де­нию этих пре­де­лов.
  3. . Пре­дел этой по­сле­до­ва­тель­но­сти, то есть пре­дел част­но­го равен , где .

, где  по­сто­ян­ный мно­жи­тель, ко­то­рый можно вы­не­сти за знак пре­де­ла.

 Примеры с использованием теоремы вычисления

При­мер 1

, мы знаем, что , от­сю­да .

При­мер 2

Найти пре­дел по­сле­до­ва­тель­но­сти .

По­сле­до­ва­тель­ность, схо­дя­ща­я­ся, имеет пре­дел, рав­ный 1.

 Задача на геометрическую прогрессию

Пе­рей­дем к сле­ду­ю­щей за­да­че.

Най­дем сумму бес­ко­неч­но убы­ва­ю­щей гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии. Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия обо­зна­ча­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: .

Вто­рой член гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии , где – зна­ме­на­тель про­грес­сии, тре­тий член  и т.д.

 – опре­де­ле­ние гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, чле­нов у этой про­грес­сии бес­чис­лен­ное мно­же­ство.

Про­грес­сия на­зы­ва­ет­ся убы­ва­ю­щей, если зна­ме­на­тель по мо­ду­лю мень­ше еди­ни­цы: .

Рас­смот­рим по­сле­до­ва­тель­ность ча­стич­ных сумм.

.

Если есть ко­неч­ная гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, то сумма чле­нов вы­чис­ля­ет­ся по этой фор­му­ле. Необ­хо­ди­мо знать пер­вый член, зна­ме­на­тель и число чле­нов.

Бес­ко­неч­ная убы­ва­ю­щая про­грес­сия

Если по­сле­до­ва­тель­ность  стре­мит­ся к неко­то­ро­му числу, то это число и будет на­зы­вать­ся сум­мой бес­ко­неч­ной гео­мет­ри­че­ской убы­ва­ю­щей про­грес­сии, если это число есть, то это сумма  то есть это сумма бес­ко­неч­но­го числа сла­га­е­мых.

, чтобы до­ка­зать это, пред­ва­ри­тель­но об­су­дим сле­ду­ю­щее утвер­жде­ние: , если .

Пусть , тогда , ,  и т.д. По­нят­но, что с ро­стом  дробь умень­ша­ет­ся, есте­ствен­но пред­по­ло­жить, что . Тогда ста­но­вит­ся по­нят­но, что по­сле­до­ва­тель­ность  убы­ва­ет, огра­ни­че­на снизу и имеет пре­дел, рав­ный нулю.

.

 Утверждение «Сумма бесконечной геометрической прогрессии»

Сумма бес­ко­неч­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Если зна­ме­на­тель  гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии  удо­вле­тво­ря­ет нера­вен­ству , то сумма  про­грес­сии вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле: .

До­ка­жем эту фор­му­лу.

До­ка­за­тель­ство: вспом­ним, что  – это пре­дел по­сле­до­ва­тель­но­сти ча­стич­ных сумм. По­сто­ян­ный мно­жи­тель  от  не за­ви­сит. От  за­ви­сит . По­сто­ян­ный мно­жи­тель можем вы­не­сти за знак пре­де­ла. По­лу­ча­ем пре­дел раз­но­сти, что в свою оче­редь яв­ля­ет­ся раз­но­стью пре­де­лов: .

Фор­му­ла до­ка­за­на.

 Задача на сумму геометрической прогрессии

При­мер

Найти сумму гео­мет­ри­че­ской про­грес­си:.

 ; .

Зна­чит, имеем бес­ко­неч­ную убы­ва­ю­щую гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию:  .

Ответ: .

Об­су­дим за­да­чу.

, зна­чит, . Рас­смот­рим сле­ду­ю­щую гео­мет­ри­че­скую мо­дель. Имеем от­ре­зок  дли­ной в еди­ни­цу (рис. 6). пер­вое сла­га­е­мое, уже по­ло­ви­на от­рез­ка, вто­рое сла­га­е­мое  это по­ло­ви­на остав­ше­го­ся от­рез­ка, тре­тье сла­га­е­мое по­ло­ви­на остав­ше­го­ся от­рез­ка и т.д.

Рис. 6.От­ре­зок 

 Апории Зенона

В за­клю­че­нии вспом­ним и упро­стим апо­рии Зе­но­на, со­глас­но ко­то­рой, как он до­ка­зы­вал, Ахил­лес ни­ко­гда не до­го­нит че­ре­па­ху. Мы оста­но­вим че­ре­па­ху и до­ка­жем, что Ахил­лес или дру­гой бегун ни­ко­гда не по­рав­ня­ет­ся с че­ре­па­хой. Необ­хо­ди­мо найти ошиб­ку в рас­суж­де­ни­ях.

Рис. 7. Бегун и че­ре­па­ха

В точке  – бегун, в точке  – че­ре­па­ха, рас­сто­я­ние , ско­рость бе­гу­на . Про­бе­гая по­ло­ви­ну пути, бегун за­тра­тит время, те­перь он на­хо­дит­ся в точке (рис. 7).

Положение бегуна и черепахи после преодоления половины пути

Рис. 8. По­ло­же­ние бе­гу­на и че­ре­па­хи после пре­одо­ле­ния по­ло­ви­ны пути

Далее ему нужно за­тра­тить время, чтобы прой­ти по­ло­ви­ну пути (рис. 8). И все равно че­ре­па­ха впе­ре­ди, а бегун сзади. Бегун про­хо­дит еще часть пути, за­тра­тив время, и до­сти­га­ет точки . Но че­ре­па­ха  впе­ре­ди, а бегун сзади.

Рис. 9. По­ло­же­ние бе­гу­на в точке  и по­ло­же­ние че­ре­па­хи

И все равно че­ре­па­ха впе­ре­ди, а бегун сзади. Между ними рас­сто­я­ние. Чтобы прой­ти рас­сто­я­ние и по­пасть в точку , нужно за­тра­тить время (рис. 10). Но че­ре­па­ха опять впе­ре­ди, а бегун сзади. И так далее. До­ка­за­ли, что никто и ни­ко­гда не по­рав­ня­ет­ся с че­ре­па­хой.

Рис. 10. По­ло­же­ние бе­гу­на в точке  и по­ло­же­ние че­ре­па­хи

Вывод

Мы сфор­му­ли­ро­ва­ли опре­де­ле­ние чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти, рас­смот­ре­ли пре­дел чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти, а также сумму бес­ко­неч­ной гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, при­ве­ли при­ме­ры задач на пре­дел чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/summa-beskonechnoy-geometricheskoy-progressii

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-5-proizvodnaya/25-summa-beskonechnoj-geometricheskoj-progressii

http://cartalana.ru/m-45.php

Источник

  • Log in

  • Join

Watch in our app

Open in app

Источник

Уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной

Всякая невертикальная прямая задается уравнением вида y = kx + b, где k — угловой коэффициент. Касательная — не исключение, и чтобы составить ее уравнение в некоторой точке x0, достаточно знать значение функции и производной в этой точке.

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ’(x0) · (x − x0) + f (x0)

Здесь f ’(x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.

Задача. Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.

Уравнение касательной: y = f ’(x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f ’(x0) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f ’(x) = (x3)’ = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f ’(x0) = f ’(2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ

Производная в жизни

Повышенный уровень


Тест

ПОВТОРИ

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность заданная соотношениями

bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

q – знаменатель прогрессии

Формула - знаменатель прогрессии равен

Геометрическая последовательность является возрастающей, если b1 > 0, q > 1,

Например, 1, 3, 9, 27, 81,….

Геометрическая последовательность является убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1

Например, Убывыющая геометрическая прогрессия

Формула n-го члена геометрической прогрессии

bn = b1 · q n-1

Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого  (и последнего, в случае конечной последовательности), равен произведению предшествующего и последующего членов.

bn2 = bn-1 · b n+1

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Основные определения и данные для геометрической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение геометрической прогрессии

 bn+1 =bn · q, где bn ≠ 0, q ≠ 0

Знаменатель  геометрической прогрессии

 Формула - знаменатель прогрессии равен
Формула n-го члена   геометрической  прогрессии bn = b1 · q n-1
Сумма n первых членов   геометрической  прогрессии Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна
Характеристическое свойство  геометрической  прогрессии bn2 = bn-1 · b n+1

ЗАПОМНИ!

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая
геометрическая прогрессия — это прогрессия, у которой |q|<1.

Для неё определяется
понятие суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число,
к которому неограниченно приближается сумма  первых членов рассматриваемой
прогрессии при неограниченном возрастании числа.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

Пример 1.

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 12, 4, 4/3 , …

Решение

b1= 12, b2= 4,

q = 4/12 = 1/3

S = 12 / (1 — 1/3) =  12 / (2/3) = 12 · 3 / 2  = 18

Ответ 18.

Пример 2.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 150.

Найти b1, если q = 1/3

Решение

Сумма n первых членов, бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

150 = b1 / (1- 1/3)

b1 = 150· 2/3

b1= 100

Ответ 100.

Таким образом в любой бесконечно убывающей геометрической

прогрессии (bn): чем больше номер
n-го члена прогрессии (bn), тем меньше |bn|

Или говоря другими словами:

bn стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

                                          

Формулы приведения

Преобразование тригонометрических выражений

Тригонометрические уравнения

Профиль

многочлены

                                            

                                          

Источник

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию b1,b2,b3…bn…

Bычислим суммы двух, трёх, четырёх и т. д. членов прогрессии:

S1=b1;S2=b1+b2;S3=b1+b2+b3…Sn=b1+b2+b3+…+bn…

Получилась последовательность S1,S2,S3…Sn…

Эта последовательность может сходиться или расходиться, как и любая другая числовая последовательность.

Если последовательность Sn сходится к пределу S, тогда число S называют суммой геометрической прогрессии (не следует путать с суммой n членов геометрической прогрессии).

В случае, когда эта последовательность расходится, то о сумме геометрической прогрессии не говорят, однако сумму первых n членов геометрической прогрессии вычислить можно.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

если Sn=b1+b2+…+bn, то Sn=b1(qn−1)q−1.

Если знаменатель 

q

геометрической прогрессии

(bn)

 удовлетворяет неравенству 

q<1

, то сумма прогрессии

S

 существует и вычисляется по формуле  

limn→∞Sn=b11−q

.

Источник

Цель: получить формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).

Вариант 1

1. Определение возрастающей последовательности.

2. Последовательность (аn) задана формулой Найдите a1, a5, a10.

3. Последовательность (аn) задана формулой аn+1 = 3 — 2аn, где а1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

4. Вычислите

Вариант 2

1. Определение убывающей последовательности.

2. Последовательность (аn) задана формулой Найдите a1, a5, a10.

3. Последовательность (аn) задана формулой an+1 = 3аn — 2, где а1 = 2 и n ≥ 1. Найдите первые четыре члена последовательности.

4. Вычислите

III. Изучение нового материала

Одной из изученных последовательностей является геометрическая прогрессия которая рассматривалась в 9 классе. Были изучены основные свойства такой прогрессии.

Если |q| < 1, то прогрессия называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Для нее, разумеется, как и для любой геометрической прогрессии, справедливы свойства и формулы, приведенные ранее. Кроме того, можно вычислить сумму бесконечного числа членов такой профессии по формуле

Пример 1

Найдем сумму чисел 6; 3; 3/2; ….

Данные числа образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, для которой b1 = 6 и q = 1/2. Тогда ее сумма равна

Пример 2

Запишем в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(27).

Получим: — эти дроби образуют бесконечную геометрическую прогрессию, у которой Ее сумма равна

Итак, 0,(27) = 3/11.

Пример 3

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдем эту прогрессию.

Пусть дана прогрессия Тогда ее сумма Кубы членов данной прогрессии также образуют геометрическую прогрессию с первым членом b13 и знаменателем q3. Так как при |q| < 1 величина |q3| = |q|3 < 1, то эта прогрессия также бесконечно убывающая и ее сумма Получим систему нелинейных уравнений Для решения этой системы возведем первое уравнение в куб: и разделим второе уравнение системы на полученное уравнение: или 2q2 + 5q + 2 = 0. Корни этого уравнения q = -1/2 и q = -2 (не подходит, так как прогрессия бесконечно убывающая и |q| < 1). Теперь из первого уравнения находим

Пример 4

Сторона квадрата равна а. Середины сторон этого квадрата соединим отрезками. Получился новый квадрат. С этим квадратом поступили так же, как и с данным, и т. д. Найдем суммы сторон, периметров и площадей всех этих квадратов.

Обозначим стороны этих квадратов (начиная с данного): а, а2, а3, … . Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC: Запишем для него теорему Пифагора: откуда Аналогично из прямоугольного треугольника DEC находим: и т. д.

Таким образом, стороны квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию у которой первый член а и знаменатель Найдем ее сумму:

Так как периметр квадрата 4а, то периметры приведенных квадратов также образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом 4а и знаменателем поэтому ее сумма

Площадь квадрата а2 и площади квадратов образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом а2 и знаменателем 1/2, поэтому сумма площадей

Итак, сумма сторон периметров — площадей — 2а2.

IV. Контрольные вопросы

1. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия.

2. Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

V. Задание на уроке

§ 25, № 1 (а, б); 4 (в, г);.6 (а); 7 (г); 8 (а, б); 9 (б); 10; 13 (а, б); 14 (а); 15 (в, г).

VI. Задание на дом

§ 25, № 1 (в, г); 4 (а, б); 6 (б); 7 (в); 8 (в, г); 9 (в); 11; 13 (в, г); 14 (б); 15 (а, б).

VII. Подведение итогов урока

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
Вам также может быть интересно