Как найти синус тангенс тупого угла

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Ёжику Понятно

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
  • Тригонометрический круг
  • Основное тригонометрическое тождество
  • Таблица значений тригонометрических функций
  • Градусы и радианы
  • Формулы приведения
  • Теорема синусов
  • Расширенная теорема синусов
  • Теорема косинусов
  • Тригонометрические уравнения (10-11 класс)
  • Примеры решений заданий из ОГЭ

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, угол C равен 90°:

Прямоугольный треугольник

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия: Тригонометрический круг

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат. 

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x, ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x, против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A. Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Тригонометрический круг

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B) и на ось игрек (точка C).

Синус и косинус на тригонометрическом круге

Отрезок OB является проекцией отрезка OA на ось x, отрезок OC является проекцией отрезка OA на ось y.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AOB:

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Тригонометрический круг, тупой угол

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y. Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x. Косинус тупого угла отрицательный.

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x.  (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y.

Тригонометрический круг, значения углов

Координата по оси x – косинус угла, координата по оси y – синус угла.

Пример:

cos 150 ° = − 3 2

sin 150 ° = 1 2

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный.

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный.

Основное тригонометрическое тождество

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

Основное тригонометрическое тождество, тригонометрический круг

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций

30° 45° 60° 90°
sinα 0 12 22 32 1
cosα 1 32 22 12 0
tgα 0 33 1 3 нет
ctgα нет 3 1 33 0

Тригонометрия: градусы и радианы

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия: Формулы приведения

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

Тригонометрический круг, формулы приведения

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β:

Смежные углы

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

Тригонометрия: Теорема синусов

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

Треугольник ABC

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Тригонометрия: Расширенная теорема синусов

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

Треугольник ABC, описанная окружность радиуса R

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Тригонометрия: Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Треугольник ABC

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Скачать домашнее задание к уроку 1.

Тригонометрия: Тригонометрические уравнения

Это тема 10-11 классов.

Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!

Содержание:

Пусть в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, один из острых углов равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример:

Угол К в Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияравен 90° (рис. 7).
Тогда:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Для угла N катет МК — противолежащий, а катет NK — прилежащий (см. рис. 7, с. 11). Поэтому согласно определениям получаем:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Можно заметить, что синус острого угла а прямоугольного треугольника и косинус другого острого угла этого треугольника, содержащего Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения равны, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Так же Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Например, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
А теперь выполните Тест 1 и Тест 2.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Значение синуса острого угла, а также косинуса, тангенса и котангенса зависит только от величины угла и не зависит от размеров и расположения прямоугольного треугольника с указанным острым углом.
Это следует из того, что прямоугольные треугольники с равным острым углом подобны, а у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны. Так, в Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 8) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 9). Так как катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, то АВ = 2. По теореме Пифагора 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (см. рис. 9), то

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВС, у которого Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 10). По теореме Пифагора 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Тогда:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Составим таблицу значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов для углов 30°, 45° и 60°.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Нахождение значений тригонометрических функций

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса данного угла можно приближенно находить при помощи специальных тригонометрических таблиц* либо калькулятора.

Например, с помощью калькулятора, компьютера или мобильного телефона (смартфона) находим: sin45° = 0,707106… . Приближенное значение тригонометрических функций при решении задач будем брать с округлением до четырех знаков после запятой: sin45° = 0,7071.
Итак, точное значение sin 45° равно Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения . а приближенное — 0,7071.
Таблицы и калькулятор также позволяют находить величину острого угла по значению синуса, косинуса или тангенса. Например, найдем острый угол, синус которого равен 0,4175. Выбрав на компьютере вид калькулятора «инженерный», далее «градусы», нужно ввести последовательно Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. На экране появится ответ: 24,676… . Округлим его до десятых долей градуса и получим 24,7°. Учитывая, что 1° содержит 60 угловых минут, получим: 0,7° = 0,7 • 60′ = 42′. Искомый угол, синус которого 0,4175, приближенно равен 24°42′.
А теперь выполните Тест 3.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Тригонометрические функции острого угла

Синус, косинус, тангенс и котангенс являются функциями угла, так как каждому острому углу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения соответствует единственное значение синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Они называются тригонометрическими функциями и записываются так: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Поскольку в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы, то для острого угла Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения справедливо: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения следовательно синус и косинус острого угла положительны и меньше 1.
Тангенс и котангенс острого угла могут принимать любое положительное значение. Например, tg85° ~ 11,4.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

С увеличением острого угла синус и тангенс возрастают, а косинус и котангенс убывают (рис. 11), то есть если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения но Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (cm. c. 28, задачу 2*). Это гарантирует, что синус (косинус, тангенс и котангенс) острого угла определяют этот угол однозначно.

Пример №1

В прямоугольном треугольнике АВС, где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, катет ВС равен 8 см, гипотенуза АВ равна 17 см. Найти косинус угла А (рис. 12).

Решение:

По теореме Пифагора найдем катет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (см). Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен от ношению прилежащего катета к гипотенузе. Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №2

Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника АВС равна 20 см, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 13). Найти площадь треугольника.

Решение:

Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Обозначим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияПо теореме Пифагора Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения ВС = 4 • 4 = 16(см), Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 96 Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №3

При помощи циркуля и линейки построить угол, синус которого равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Идея решения. Построим прямоугольный треугольник с катетом, равным 4 единицы, и ги­потенузой, равной 5 единиц. Синус угла, противолежащего указанному катету, будет равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Построение. 1) Строим прямой угол С (рис. 14), для чего проводим произвольную прямую Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения отмечаем на ней точку С и строим прямую Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения проходящую через точку С перпендикулярно прямой Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (вспомните по рисунку алгоритм построения). 2) На прямой Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения от точки С откладываем последова­тельно четыре равных отрезка. Получаем отрезок ВС, который содержит 4 единицы. 3) Строим окружность с центром в точке В радиусом, равным пяти единицам. В пересечении этой окружности и прямой Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения получаем точку А.
Угол ВАС — искомый.

Доказательство:

Из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения находим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Алгоритм решения прямоугольного треугольника

Под решением прямоугольного треугольника понимают нахождение его неизвестных сторон и углов по некоторым элементам, определяющим этот треугольник. Рассмотрим три задачи:

  1. нахождение катета по гипотенузе и острому углу;
  2. нахождение катета по другому катету и острому углу;
  3. нахождение гипотенузы по катету и острому углу.

Пример №4

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6, острый угол равен 32° (рис. 23). Найти катет, прилежащий к данному углу. Ответ округлить до 0,1.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Примем длину искомого катета за Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 5,1.

Пример №5

Катет прямоугольного треугольника равен 2,5, а прилежащий к нему угол равен 68° (рис. 24). Найти другой катет. Ответ округлить до 0,1.
 

Решение:

Примем длину неизвестного катета за Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 6,2.

Пример №6

Катет прямоугольного треугольника равен 4,2, противолежа­щий ему угол равен 29° (рис. 25). Найти гипотенузу треугольника. Ответ округлить до 0,1.

Решение:

Примем длину гипотенузы за Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 8,7.

Правила решения прямоугольного треугольника

Преобразуем формулы синуса, косинуса, тангенса и котангенса и запишем результаты для треугольника на рисунке 26:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Удобно пользоваться следующими правилами:

  • Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, а).
  • Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего или на косинус прилежащего угла (рис. 27, б).
  • Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего или на котангенс прилежащего к первому катету угла (рис. 27, в).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №7

В Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения известно: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(рис. 28).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Полезно запомнить!
Если в прямоугольном треугольнике с углом 30° (или 60°) дан меньший катет а, то больший
катет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
 (рис. 29, а). А если дан больший катет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то меньший катет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 29, б).
Если в прямоугольном треугольнике с углом 45° дан катет а,

то гипотенуза Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 30, а), а если дана гипотенуза с, то ка­тет Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(рис. 30, б).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №8

В прямоугольном треугольнике АВС известно: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — высота, проведенная к гипотенузе (рис. 31). Найти проекцию НВ катета ВС на гипотенузу.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Заметим, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения так как эти углы дополняют Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияИз Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №9

В равнобедренной трапеции ABCD меньшее основание ВС равно 7, боковая сторона АВ равна 10, sinA = 0,8. Найти площадь трапеции.

Решение:

Площадь трапеции находится по формуле Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияНайдем большее основание и высоту трапеции. Проведем в трапеции высоты ВН и СК (рис. 32). Так как НВСК — прямоугольник (все углы — прямые), то НК = ВС = 7. Из равенства прямоугольных треугольников АНВ и DKC (по катету и гипотенузе) АН = KD. Из прямоугольного треугольника АНВ находим: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда АН = 6 (пифагорова тройка 6, 8, 10). Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 104.

Тригонометрические формулы

Используя формулы Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениягде Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — катеты, с — гипотенуза прямоугольного треугольника, можно по­лучить формулы, связывающие значения тригонометрических функций острого угла.

1. Основное тригонометрическое тождество

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

По теореме Пифагора Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Следствие:

Так как синус и косинус острого угла а положительны, то

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

2. Выражение тангенса и котангенса через синус и косинус

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

a)Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения б)Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Следствие:

 Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Проверим справедливость основного тригонометрического тождества.
Верно ли, например, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Да, это верно, так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

3. Основная задача

ДаноСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— острый угол.

Найти: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Способ 1. Используем основное тригонометрическое тождество: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Так как косинус острого угла больше нуля, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияоткуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 2. Изобразим прямоугольный треугольник с катетом 5 и гипотенузой 13 (рис. 41). Синус угла, противолежащего данному катету, равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Поэтому этот угол равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По теореме Пифагора другой катет равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 3. Пусть катет, противолежащий углу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения равен 5х, тогда гипотенуза равна Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По теореме Пифагора прилежащий катет равен Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияОтсюда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №10

В параллелограмме ABCD (рис. 42) сторона ВС = 50 см, высота ВК = 30 см, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Найти периметр параллелограмма.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Из треугольника АВК находим: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияИз основного тригонометрического тождества следует: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (так как угол А — острый, то sinA > 0). Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(см ) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Ответ: 168 см.

Пример №11

Доказать, что при увеличении угла от 0° до 90°:

а) синус угла увеличивается от 0 до 1, а косинус — уменьшается от 1 до 0;

б) тангенс угла увеличивается от О до бесконечности.
Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

а) Рассмотрим прямоугольные треугольники с гипотенузой, равной 1. Для этого опишем радиусом ОМ, равным 1, четверть окружности — ду­гу МК (рис. 43). Пусть Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Опустим из точки А перпендикуляр АВ на ОМ. Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения При повороте радиуса ОМ вокруг центра О против часовой стрелки, начиная от ОМ и заканчивая ОК, угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения будет увеличиваться от 0° до 90° (образуя указанные на чертеже углы: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и т. д.). Величина катета АВ, противолежащего углу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения будет увеличиваться от 0 до 1. А величина катета ОВ, наоборот, будет уменьшаться от 1 до 0. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его синус увеличивается от 0 до 1, а косинус уменьшается от 1 до 0.
Из формулы Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения также следует (учитывая положительность синуса и косинуса острого угла), что с увеличением синуса от 0 до 1 косинус уменьшается от 1 до 0. 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения 

б) Для определения изменения тангенса угла удобно рассматривать треугольники, у которых при­лежащий катет не изменяется и остается равным 1, а противолежащий катет изменяется. Рассмотрим прямоугольный треугольник АОМ, у которого отре­зок ОМ = 1, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 44). По определению Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения станем изменять, перемещая точку А по прямой MN, начиная от точки М и проходя через точки Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и т. д. При этом угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и его тангенс начнут возрастать. Таким образом, когда угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения при движении точки А вверх будет стремиться к углу КОМ, равному 90°, то тангенс этого угла будет неограниченно возрастать.
К такому же выводу можно прийти, рассматривая формулу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения При увеличении угла Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения от 0° до 90° числитель дроби будет увеличиваться от 0 до 1, а знаменатель — уменьшаться от 1 до 0, значит, вся дробь будет увеличиваться от 0 до бесконечности. Таким образом, при увеличении угла от 0° до 90° его тангенс увеличивается от 0 до бес­конечности.

Пример №12

В основании прямоугольного параллелепипеда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения лежит квадрат, диагональ которого Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см. Диагональ Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения боковой грани составляет с ребром основания Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 46). Найдите объем параллелепипеда.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда находится по формуле Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, где а, b и с — его измерения. Так как ABCD — квадрат, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Из прямоугольного треугольника Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения находим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Искомый объем Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения.
Ответ: 576 см3.

Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла

1. Определение значений Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения для любого угла а от 0° до 180°

Ранее мы дали определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла через отношение сторон прямоугольного треугольника. Сделаем теперь это для углов от 0° до 180°.

Рассмотрим полуокружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1 (рис. 48). От положительной полуоси Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения против часовой стрелки отложим острый угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения сторона которого пересекает полуокружность в точке Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Из прямоугольного треугольника OMN, где ОМ = 1, ON = х, MN = у, получаем: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то есть синус, косинус,

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

тангенс и котангенс острого угла а выражаются через координаты Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения точки Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Точно так же определяются значения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения для любого угла а из промежутка Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Таким образом, синусом угла а называется ордината Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения косинусом — абсцисса Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения тангенсом — отношение ординаты к абсциссе Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения  а котангенсом — отношение абсциссы к ординате Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения точки М единичной полуокружности.

Например, для тупого Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 48), где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения получим: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Для любого положения точки Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения на единичной полуокружности верно равенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (докажите самостоятельно). Поэтому для углов Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения верно основное тригонометрическое тождество Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Также верны тождества: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Нахождение синуса, косинуса, тангенса и котангенса тупых углов

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пусть Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 49). Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения по гипотенузе и острому углу, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияТочки Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения имеют координаты: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениято есть для углов от 0° до 180° справедливы равенства: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Можно пользоваться следующим правилом:
 

Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла.
Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».

 

Пример 1. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

 Разделив почленно равенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияна равенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения а затем наоборот, получим равенства:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Можно пользоваться следующим правилом:
Тангенс (котангенс) тупого угла равен тангенсу (котангенсу) смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».

Пример 2. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Указанные формулы и правила позволяют находить значения триго­нометрических функций тупого угла через значения тригонометрических функций острого угла, который дополняет данный тупой угол до 180°: синусы углов, дополняющих друг друга до 180°, равны между собой, а косинусы, тангенсы и котангенсы — противоположны. Так как синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла по­ложительные, то синус тупого угла положительный, а косинус, тангенс и котангенс — отрицательные.

Значения тригонометрических функций для углов 0°, 90°, 180°

Если луч ОМ совпадет с лучом Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(рис. 50), то будем считать, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда:

а) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения значение Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияне определено, так как деление на нуль невозможно; 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

б) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениязначение Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения не определено, так как деление на нуль невозможно; в) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения значе­ние Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения не определено, так как деление на нуль невозможно.
Поскольку проекции радиуса, равного 1, на оси координат меньше либо равны 1, то для углов Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения справедливы неравенства: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №13

Найти Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — тупой угол.

Решение:

Способ 1. Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Поскольку угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — тупой, то его косинус отрицательный. Поэтому Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияТогдаСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 2. Синус острого угла Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения смежного с данным тупым углом Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения равен также Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Построим прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 (рис. 52). В нем Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияТак как косинусы смежных углов противоположны, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Аналогично, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ:Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Формулы площади треугольника и площади параллелограмма

Тригонометрические функции позволяют получить формулы для вычисления площади треугольника и площади параллелограмма. Сформулируем их в виде двух теорем.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Пусть в треугольнике Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— острый, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — высота (рис. 56, а).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Из  прямоугольного треугольника Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Если угол Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения тупой (рис. 56, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— острый. Из прямоугольно­го треугольника АКС следует, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениято Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — прямоугольный с катетами Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Учитывая, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения получим: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Теорема доказана.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению двух его соседних сторон на синус угла между ними, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Используя рисунок 57, докажите эту теорему самостоятельно.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Замечание. Если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то параллелограмм является прямоугольником. Его площадь Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Таким образом, формула площади прямоугольника Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения — частный случай формулы площади параллелограмма Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Известно, что слово «синус» в переводе с латинского имеет множество значений: изгиб, дуга, пазуха, бухта, впадина, залив, хорда, забота и нежная любовь. При помощи Интернета выясните:

а) какое из значений подходит к математическому понятию «синуса»;

б) какие из значений относятся к медицине и почему насморк врачи иногда называют синуситом.

Пример №14

Дан параллелограмм ABCD, площадь которого 40 см2, а периметр 36 см. Найти стороны параллелограмма, если его угол D равен 150° (рис. 58).
Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Полупериметр параллелограмма ра­вен 18 см. Если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениясм, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см.
Тогда

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
По условию Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Составим и решим уравнение: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По теореме Виета (обратной) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— корни.
Если CD = 8 см, то AD = 10 см, если CD = 10 см, то AD = 8 см.
Ответ: 8 см, 10 см.

Пример №15

Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, т.е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Пусть диагонали Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения четырехугольника ABCD (рис. 59) пересекаются в точке О, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Докажем, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Обозначим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Заме­тим, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениякак вертикальные, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения по свойству смежных углов. Поэтому Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По фор­муле площади треугольника Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения у получим:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Утверждение доказано

Среднее пропорциональное (среднее геометрическое) в прямоугольном треугольнике

Если для положительных чисел Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения выполняется пропорция Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решениято число Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения называется средним пропорциональным чисел а и с (между чис­лами а и с). Из указанной пропорции Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения В такой форме записи число Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения еще называют средним геометрическим чисел а и с.
 

Пример №16

Число 4 является средним пропорциональным, или средним геометрическим чисел 2 и 8, так как = Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения или Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

В прямоугольном треугольнике АВС, где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, проведем высоту СК (рис. 61). Отрезок АК является проекцией катета АС на гипотенузу, а отрезок ВК — проекцией катета ВС на гипотенузу. Катеты, гипотенуза, высота и проекции катетов на гипотенузу связаны отношениями, которые мы сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема (о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике).

а) Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (см. рис. 61).

б) Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проек­цией этого катета на гипотенузу, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

а)3аметим, что если Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(эти углы дополняют Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения до 90°) (рис. 62). Из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Отсюда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

б) Из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, из Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Аналогично доказывается, что Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Теорема доказана.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Обозначив катеты Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения гипотенузу с, высо­ту Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения проекции катетов на гипотенузу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(рис. 63), получим следующие формулы: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №17

Найти площадь прямоугольного треугольника, если проекции катетов на гипотенузу равны 2 см и 8 см.

Решение:

Пусть СН — высота прямоугольного треугольника АВС  Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения АН = 2 см — проекция катета АС на гипотенузу, НВ = 8 см —

проекция катета СВ на гипотенузу (рис. 64). Так как высота СН есть среднее геометрическое между проекциями катетов на гипотенузу, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 20 см2.

Пример №18

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины прямого угла С проведена высота Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см, АК = 12 см (рис. 65). Найти гипотенузу АВ.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Пусть Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см, тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения см.
Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу. Поэтому Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения По теореме Виета (обратной) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияПо смыслу задачи Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Значит, КВ = 3 см, АВ = 15 см.
Ответ: 15 см.

Пример №19

При помощи циркуля и линейки построить отрезок, равный среднему геометрическому отрезков т и п .

Решение:

Пусть даны отрезки т и п . Необходимо построить отрезок Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Построение.
1) На произвольной прямой откладываем данные отрезки: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

2) На отрезке АВ как на диаметре строим полуокружность, для чего находим середину О отрезка АВ, откуда ОА — радиус данной окружности.

3) Из точки К восстанавливаем перпендикуляр к прямой АВ до пересечения с полуокружностью в точке М (рис. 66).
Отрезок Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— среднее пропорциональное отрезков Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения— прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр. В прямоугольном треугольнике АМВ высота МК является средним пропорциональным проекций катетов AM и МВ на гипотенузу Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Повторение*
В 8-м классе мы доказали следующую теорему:

Теорема (о касательной и секущей). Если из одной точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной, соединяющего данную точку и точку касания, равен произведению отрезков се­ кущей, соединяющих данную точку и точки пересечения секущей с окружностью, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 70).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Как видим, отрезок Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения является средним пропорциональным между отрезками Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения секущей. Глядя на рисунок 70, вспомните идею доказательства теоремы.

Теорема о площадях треугольников с общим (равным) углом

Площади треугольников, имеющих общий угол (или равный угол), относятся как произведения сторон, заключающих этот угол (рис. 75),
т.е.
Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Следствие: Верно:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №20

Площадь треугольника АВС равна 16, АК : КС = 3 :1 , AM : МВ = 1 :2 (рис. 76). Найти Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Способ 1. По следствию из теоремы о площадях треугольников с общим углом получаем:

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 2.  Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 4.

Теорема Менелая

Если дан треугольник АВС и прямая Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения пересекает стороны ВС, АВ и продолжение стороны АС в точках Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения соответственно (рис. 79), тоСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Доказательство:

Проведем отрезок Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияи Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения(по двум углам), то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Перемножив почленно указанные пропорции, получим

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияоткуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Замечание. При составлении произведения трех отношений теоремы Менелая можно начинать с любой из шести точек (трех вершин треугольника и трех точек пересечения прямой Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения с прямыми, содержащими стороны треугольника) и двигаться по контуру либо по часовой, либо против часовой стрелки. При этом вершины треугольника и точки пересечения должны чередоваться.

Пример №21

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС взяты соответственно точки М и К, такие, что AM : МВ = 2 :1 , АК : КС = 3 :2 . Отрезки СМ и ВК пересекаются в точке О. Найти ВО : ОК.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

Способ 1 (теорема Менелая). Рассмотрим Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 80). Прямая Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения пересекает две его стороны АВ и ВК соответственно в точках М и О и продолжение тре­тьей стороны АК в точке С. По теореме Менелая Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Способ 2 (теорема Фалеса обобщенная). Проведем Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (рис. 81). По теореме Фалеса Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда АЕ — три части, ЕМ — две части, AM — пять частей, откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Но Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Отсюда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Для Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
по теореме Фалеса Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

 Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Пример №22

Дан равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС), площадь которого равна 80. Точка К делит высоту ВН в отношении 1 : 3, считая от основания. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке М. Найти площадь четырехугольника НКМС (рис. 82).

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Решение:

1) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения (ВН — высота и медиана треугольника АВС).

2) Применим теорему Менелая к треугольнику НВС.
Прямая AM пересекает его стороны ВН и ВС соответственно в точках К и М и продолжение стороны НС в точке Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Тогда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияСоотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Откуда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

3) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

4) Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Ответ: 22.

Неравенство Коши

Среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше либо равно их среднему геометрическому, т. е.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Например, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Действительно, Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Алгебраическое доказательство указанного неравенства таково. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Получим: Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Так как Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решенияпри всех допустимых Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Следовательно, неравенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения верно.
Неравенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения где Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения называется неравенством Коши по имени известного французского математика и часто используется при решении олимпиадных задач.

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Приведем геометрическое доказательство указанного неравенства. Изобразим окружность с диаметром АВ и центром в точке О (рис. 87). На диаметре возьмем точку К (для определенности левее центра О). Пусть Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения Из точки К вос­становим перпендикуляр КС, где точка С принад­лежит окружности. Проведем радиус ОС. Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, то Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения прямоугольный, СК — его высота, проведенная к гипотенузе. По теореме о среднем пропорциональном в прямоугольном треугольнике Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. Но радиус ОС равен половине диаметра АВ, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения. В Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения катет меньше гипотенузы, т. е. Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения так как катет меньше гипотенузы. Отсюда Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения
Равенство левой и правой частей неравенства достигается, когда точ­ка К совпадает с точкой О и Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения становится равнобедренным и прямоугольным. Поэтому справедливо неравенство Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решеният. е Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

ЗАПОМИНАЕМ

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

2. Значения тригонометрических функций углов 30 45°, 60°: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

3. Тригонометрические формулы (тождества): 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

Примеры:  Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

4. Формулы площади треугольника и параллелограмма: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

5. Среднее пропорциональное в прямоугольном треугольнике: 

Соотношения в прямоугольном треугольнике - определение и вычисление с формулами и примерами решения

  • Сумма углов треугольника
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников

Свойства тригонометрических функций

Отсюда вытекает много интересных свойств и тригонометрических формул.
Во-первых, надеюсь, все знают, что в прямоугольном треугольнике самая большая сторона – это гипотенуза.
Поэтому из определения синуса и косинуса ((sin(alpha)=frac{a}{c}; quad cos(alpha)=frac{b}{c})) следует, что они всегда меньше единицы, ведь мы катет (меньшую сторону) делим на гипотенузу (большую сторону треугольника). И как мы узнаем позже, синус и косинус всегда больше минус единицы. То есть синус и косинус могут принимать только значения из промежутка:

$$ sin(alpha) in [-1;1];$$
$$ cos(alpha) in [-1;1];$$

Для тангенса и котангенса никаких ограничений нет, они могут принимать абсолютно любые значения.

Теперь выведем несколько формул, без которых нам точно потом не обойтись. Например, можно обратить внимание, что тангенс выражается через деление синуса на косинус, просто расписав их по определению:

$$frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}=frac{frac{a}{c}}{frac{b}{c}}=frac{a}{c}*frac{c}{b}=frac{a}{b};$$

А последняя формула есть ни что иное, как определение тангенса:
$$ tg(alpha)=frac{a}{b};$$
Значит
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}.$$

Аналогичные рассуждения можно провести для котангенса:
$$frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}=frac{frac{b}{c}}{frac{a}{c}}=frac{b}{c}*frac{c}{a}=frac{b}{a};$$
А котангенс по определению:
$$ctg(alpha)=frac{b}{a};$$
Значит
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}.$$

Кроме этого, легко заметить, что функции тангенса и котангенса взаимно обратны:
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=frac{a}{b}*frac{b}{a}=1.$$

А теперь мы подобрались к не самой очевидной тригонометрической формуле, но одной из самых главных во всей тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad (1)$$

Выводится оно тоже из определений синуса и косинуса с использованием теоремы Пифагора (гипотенуза в прямоугольном треугольнике равна сумме квадратов катетов (c^2=a^2+b^2;)):
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=left(frac{a}{c}right)^2+left(frac{b}{c}right)^2=left(frac{a^2}{c^2}right)+left(frac{b^2}{c^2}right)=frac{a^2+b^2}{c^2}=frac{c^2}{c^2}=1.$$
С основным тригонометрическим тождеством вы будете сталкиваться постоянно и в 9-м и в 10-м классах.

И разберем еще две важные формулы:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
Выводится она очень легко, опять же, используя определения тангенса и косинуса. Рекомендую потренироваться и сделать это самим.
$$1+left(frac{a}{b}right)^2=frac{1}{frac{b^2}{c^2}};$$
$$left(frac{b^2}{b^2}right)+left(frac{a^2}{b^2}right)=1*frac{c^2}{b^2};$$
$$frac{b^2+a^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Используем теорему Пифагора:
$$frac{c^2}{b^2}=frac{c^2}{b^2};$$
Получили верное равенство, значит формула верна.

И вторая аналогичная формула для котангенса:
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)};$$
Вывод один в один, сделайте сами.

Для удобства соберем все формулы вместе.
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad(1)$$
$$ tg(alpha)=frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}. qquad(2)$$
$$ctg(alpha)=frac{cos(alpha)}{sin(alpha)}. qquad(3)$$
$$tg(alpha)*ctg(alpha)=1.qquad(4)$$
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)}. qquad(5)$$
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}. qquad(6)$$

Это далеко не все тригонометрические формулы, их гораздо больше. Но для начала и для 9-го класса этого вполне достаточно.

Зачем же они нужны? Оказывается, эти формулы помогают связать тригонометрические функции между собой. Посмотрите внимательно на первую формулу (1): зная, например, чему равен косинус, можно легко найти синус, и наоборот.

Пример 1
Пусть (cos(alpha) =frac{1}{2}), найдите (sin(alpha)=?)

Берем основное тригонометрическое тождество (формула (1)) и подставляем в него известный по условию задачи (cos(alpha)=frac{1}{2}:)
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(frac{1}{2}right)^2=1;$$
А дальше просто решаем получившееся уравнение относительно синуса:
$$sin^2(alpha)=1-left(frac{1}{2}right)^2;$$
$$sin^2(alpha)=1-frac{1}{4};$$
Приводим к общему знаменателю:

$$sin^2(alpha)=frac{4}{4}-frac{1}{4};$$
$$sin^2(alpha)=frac{3}{4};$$
И здесь внимательно решаем квадратное уравнение:
$$sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2};$$
Обратите внимание на (pm). Синус может быть как положительным, так и отрицательным, так как при подстановке и возведении в квадрат минус сгорает. Значит здесь получается два ответа.

Ответ:(sin(alpha)=pmfrac{sqrt{3}}{2}.)

Аналогично, зная хотя бы одну тригонометрическую функцию, можно найти все остальные, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим еще пример:

Пример 2
Пусть (sin(alpha) =frac{1}{3}), найдите (ctg(alpha)=?)

Смотрим на наш список формул и находим такую, в которой есть и синус и котангенс — это формула (6):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{sin^2(alpha)}.$$
Подставляем известный из условия синус (sin(alpha) =frac{1}{3}):
$$1+сtg^2(alpha)=frac{1}{left(frac{1}{3}right)^2}.$$
Перевернем правую часть:
$$1+сtg^2(alpha)=left(frac{3}{1}right)^2.$$
$$1+сtg^2(alpha)=9.$$
Теперь решим уравнение и найдем котангенс:
$$сtg^2(alpha)=8.$$
$$сtg(alpha)=pmsqrt{8}=pmsqrt{4}*sqrt{2}=pm2sqrt{2}.$$

Ответ:(сtg(alpha)=pm2sqrt{2}).

Выглядит пугающе, но учить вам это НЕ НУЖНО! В некоторых школах есть изверги, которые заставляют учить такую таблицу, но в этом совершенно нет необходимости. В дальнейшем мы научимся сами выводить все значения тригонометрических функций только из маленькой таблицы.

Обратите внимание, что синус некоторого угла в треугольнике всегда положителен, неважно, тупой или острый угол. А вот косинус, тангенс и котангенс в треугольнике положительны только от острых углов и отрицательны от тупых.

Тут может возникнуть вопрос, как может существовать синус, косинус, тангенс или котангенс от тупого угла, большего чем (90^o), если мы давали определение всех тригонометрических функций через прямоугольный треугольник, в котором нет углов больших (90^o). Ну что ж, да тригонометрические функции существуют для любых углов и острых, и тупых, но для самого начала тригонометрии определения через прямоугольный треугольник нам более чем достаточно. Просто запомните выводы, которые мы сделали в предыдущем абзаце.

Рассмотрим пример на тригонометрию по типу схожий с заданиями ОГЭ. Обычно задачи сводятся просто к нахождению тригонометрической функции некоторого угла, нарисованного на рисунке:

Пример 2
По рисунку определить значение (sin(alpha)=?)

По определению синус в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Первым делом достроим наш синий угол (angle{ABC}) до прямоугольного треугольника, для этого опустим из точки (A) высоту (AH) к (BC). Получили прямоугольный треугольник (AHB). Теперь можем воспользоваться определением синуса:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB};$$
По клеточкам на рисунке найдем длину отрезка (AH=15). А гипотенузу (AB) найти по клеточкам не выйдет, так как она идет по диагонали. Но мы можем найти опять по клеточкам второй катет в прямоугольном треугольнике (BH=12) и применить теорему Пифагора:
$$AB^2=AH^2+BH^2;$$
$$AB^2=15^2+12^2=225+144=369;$$
$$AB=sqrt{369}=3sqrt{41};$$
Подставим в формулу для синуса и найдем его:
$$sin(alpha)=frac{AH}{AB}=frac{15}{3sqrt{41}};$$

Ответ: (sin(alpha)= frac{15}{3sqrt{41}}.)

Разберем еще примеры посложнее на нахождение тригонометрических функций друг через друга. Некоторые даже будут из реального ЕГЭ:

Пример 3
Пусть (tg(alpha)=sqrt{3}), найти (cos(alpha)=?), если известно, что (alpha<90^o).
Задание из ЕГЭ по профильной математике.

Условие аналогично условию в примерах №1 и 2, но появилось еще какое-то ограничение на угол (alpha), пока не будем обращать на него внимания, и решаем как обычно. Воспользуемся формулой (5), в ней есть и косинус, и тангенс, как раз одна из функций нам дана, а другую надо найти:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(sqrt{3})^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+3=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$4=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{4};$$
$$cos(alpha)=pmfrac{1}{2}.$$

У нас опять получилось два ответа из-за квадрата. В условии сказано, что задание из первой части ЕГЭ, а значит два ответа быть не может. Для этого нам и дано, что (alpha<90^o). Это означает, что угол (alpha) острый, а значит косинус у острого угла обязательно должен быть положительный.

Ответ: (cos(alpha)=frac{1}{2}.)

Пример 4
Пусть (tg(alpha) =-2), найти (sin(alpha)=?), при (90^o<alpha<180^o).

Опять обратимся к нашим формулам (1-6) и пытаемся найти такую, в которой есть и синус и тангенс. И тут оказывается, что такой формулы нет. Но нам никто не запрещает, зная тангенс и используя формулу (5), найти косинус:
$$1+tg^2(alpha)=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+(-2)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$5=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{5};$$
$$cos^2(alpha)=pmsqrt{frac{1}{5}};$$
Так как согласно условию (alpha>90^o), то значение косинуса должно быть отрицательным:
$$cos(alpha)=-sqrt{frac{1}{5}};$$

А потом, уже зная косинус, по основному тригонометрическому тождеству (1) можно найти требуемый в задаче синус:
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$
$$sin^2(alpha)+left(-sqrt{frac{1}{5}}right)^2=1;$$
$$sin^2(alpha)+frac{1}{5}=1;$$
$$sin^2(alpha)=-frac{1}{5}+1;$$
$$sin^2(alpha)=frac{4}{5};$$
$$sin(alpha)=pmsqrt{frac{4}{5}};$$
Синус у нас положительный и при острых ((alpha<90^o)) и при тупых углах ( (90<alpha<180) ):
$$sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}};$$

Ответ: (sin(alpha)=sqrt{frac{4}{5}}.)

Итак, зная значение хотя бы одной из четырех тригонометрических функций, при помощи формул (1-6) можно найти три оставшихся, именно для этого формулы и нужны.

Зная угол (angle{A}=60^o), мы знаем все тригонометрические функции от этого угла. Смотрите в таблицу (1):
$$sin(60^o)=frac{sqrt{3}}{2};$$
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$tg(60^o)=sqrt{3};$$
$$ctg(60^o)=frac{1}{sqrt{3}};$$
С другой стороны, можно расписать функции по определению через отношение сторон в прямоугольном треугольнике:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
$$cos(angle{A})=frac{AC}{AB};$$
$$tg(angle{A})=frac{BC}{AC};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AC}{BC};$$

Не пугайтесь, все нам не понадобится. Воспользуемся пока формулами:
$$cos(60^o)=frac{1}{2};$$
$$cos(angle{A}=60^o)=frac{AC}{AB};$$
Нам известны косинус (angle{A}) и сторона (AC), а значит, мы можем найти гипотенузу (AB):
$$frac{1}{2}=frac{5}{AB};$$
$$AB=frac{5}{frac{1}{2}}=5*frac{2}{1}=10;$$
Нашли гипотенузу, теперь найдем последнюю сторону (BC). Для этого нам нужна любая формула с (BC), например:
$$sin(angle{A})=frac{BC}{AB};$$
Синус знаем, (AB) только что нашли — выражаем (BC):
$$BC=AB*sin(60^o)=10*frac{sqrt{3}}{2}=5*sqrt{3}.$$

Ответ: (AB=10;) (BC=5*sqrt{3}.)

Подведем итоги. Зная любую сторону в прямоугольном треугольнике и хотя бы один из острых углов, можно найти все остальные стороны при помощи тригонометрии.

Рассмотрим задачу посложнее.

Пример 6
Дан прямоугольный треугольник (bigtriangleup{ABC}), в котором угол (angle{C}=90^o), угол (tg(angle{A})=frac{1}{5}), сторона (AB=13). В треугольнике из прямого угла (angle{C}) проведена высота (CH). Найти (AH).

Первым делом обратите внимание на один очень важный факт. Если провести высоту в прямоугольном треугольнике из прямого угла, то она поделит треугольник еще на два прямоугольных. В нашем случае (bigtriangleup{ACH}) и (bigtriangleup{CHB}) тоже будут прямоугольными. А значит в них выполняются все соотношения для тригонометрических функций.
Например, в (bigtriangleup{ACH}) для угла (angle{A}) противолежащим катетом будет (CH), а прилежащим — сторона (AH), гипотенуза будет соответственно (AC). А значит можно записать формулы, следующие из определения тригонометрических функций:

$$sin(angle{A})=frac{CH}{AC};$$
$$cos(angle{A})=frac{AH}{AC};$$
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$
$$ctg(angle{A})=frac{AH}{CH};$$

Аналогичные соотношения можно записать и для (bigtriangleup{CHB}) и (bigtriangleup{ABC}). Не буду нагромождать, запишите эти соотношения сами в качестве тренировки.

Следующий важный момент, на который следует обратить внимание — это углы в получившихся треугольниках. Обозначим угол (angle{CAB}=alpha). Тогда, так как (angle{CHA}=90^o), можно выразить угол:
$$angle{ACH}=180-angle{CAB}-angle{CHA}=180-alpha-90=90-alpha;$$
Напомню, что треугольник (bigtriangleup{ABC}) прямоугольный с прямым углом (angle{ACB}=90^o).
Значит
$$angle{HCB}=angle{ACB}-angle{ACH}=90-(90-alpha)=alpha=angle{CAB};$$

Важный факт: (angle{HCB}=angle{CAB})! А равенство этих углов само собой означает и равенство всех тригонометрических функций. То есть, например, (sin(angle{HCB})=sin(angle{ACB})). Точно так же у них равны и косинусы, и тангенсы, и даже котангенсы!

Аналогичные рассуждения можно провести для углов (angle{ACH}=angle{CBA}).
Запомните это!

А теперь приступим непосредственно к решению задачи. Нам известна гипотенуза (AB) и (tg(alpha)). По определению тангенса в (bigtriangleup{ABC}):
$$tg(angle{A})=frac{CB}{AC};$$
Либо из (bigtriangleup{ACH}):
$$tg(angle{A})=frac{CH}{AH};$$

В этих формулах есть проблема: нет известной нам стороны, гипотенузы (AB). А значит, у нас две неизвестные, и решить мы не можем.

Но зная тангенс, мы легко можем найти косинус по формуле:
$$1+tg(alpha)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+left(frac{1}{5}right)^2=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$1+frac{1}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$frac{26}{25}=frac{1}{cos^2(alpha)};$$
$$cos^2(alpha)=frac{1}{frac{26}{25}}=1*frac{25}{26}=frac{25}{26};$$
$$cos(alpha)=pmsqrt{frac{25}{26}}=pmfrac{5}{sqrt{26}};$$
Так как (anglealpha) это острый угол из прямоугольного треугольника, то его косинус точно будет положительным:
$$cos(alpha)=frac{5}{sqrt{26}}.$$
Не самый приятный косинус, но что делать, будем решать так, как есть.

С другой стороны, из (bigtriangleup{ABC}):
$$cos(alpha)=frac{AC}{AB};$$
Подставим известное (AB):
$$frac{5}{sqrt{26}}=frac{AC}{13};$$
$$AC=13*frac{5}{sqrt{26}}=frac{13*5}{sqrt{26}};$$
Либо косинус еще можно расписать в (bigtriangleup{ACH}):
$$cos(alpha)=frac{AH}{AC}=frac{5}{sqrt{26}};$$
Подставим найденное (AC):
$$frac{AH}{frac{13*5}{sqrt{26}}}=frac{5}{sqrt{26}};$$
$$AH=frac{5}{sqrt{26}}*frac{13*5}{sqrt{26}}=frac{5*13*5}{26}=frac{25}{2}=12,5.$$

Ответ: (AH=12,5.)

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.

Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.

Острый угол — меньший 90 градусов.

Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин :-)

Развёрнутый, прямой, острый и тупой углы

Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается a.

Угол A обозначается соответствующей греческой буквой alpha.

Гипотенуза и катеты

Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.

Катет a, лежащий напротив угла alpha, называется противолежащим (по отношению к углу alpha). Другой катет b, который лежит на одной из сторон угла alpha, называется прилежащим.

Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:

sin A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}.

Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:

cos A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle b}{displaystyle c}.

Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:

tg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle b}.

Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:

tg A=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sin A}{displaystyle cos A}.

Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):

ctg A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle cos A}{displaystyle sin A}.

Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.

sin displaystyle alpha = frac{a}{c} sin{}^2 alpha +cosdisplaystyle {}^2 alpha =1 alpha + beta = 90 ^{circ} 
cos displaystyle alpha = frac{b}{c} 1+tg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{cos ^2 alpha} cosalpha = sin beta
tg displaystyle alpha = frac{a}{b} 1+ctg displaystyle {}^2 alpha =frac{1}{sin ^2 alpha} sinalpha = cosbeta
ctg displaystyle alpha = frac{b}{a} tgalpha = ctgbeta

Давайте докажем некоторые из них.

  1. Сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}. Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa 90^{circ}.
  2. С одной стороны, sin A =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, cos B =genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c}, поскольку для угла beta катет а будет прилежащим. Получаем, что cos beta =sin alpha. Иными словами, cos left( 90^{circ}-A right) = sin A.
  3. Возьмем теорему Пифагора: a^2+b^2=c^2. Поделим обе части на c^2, получаем displaystyle left ( frac{a}{c} right )^2+left ( frac{b}{c} right )^2=left ( frac{c}{c} right )^2 , то есть sin ^2 A+cos^2 A=1.
    Мы получили основное тригонометрическое тождество.
  4. Поделив обе части основного тригонометрического тождества на cos^2 A, получим: 1+tg ^2 A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle cos ^2 A }. Это значит, что если нам дан тангенс острого угла alpha, то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,1+ctg ^2 A =genfrac{}{}{}{0}{1}{sin ^2 A }.

Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?

Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна 180^{circ}.

Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2.

Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?

С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.

Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.

Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от 0^{circ} до 90^{circ}.

varphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 6} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 4} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 3} genfrac{}{}{}{0}{displaystyle pi}{displaystyle 2}
sinvarphi 0 displaystyle frac{1}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{sqrt{3}}{2} 1
cosvarphi 1 displaystyle frac{sqrt{3}}{2} displaystyle frac{sqrt{2}}{2} displaystyle frac{1}{2} 0
tgvarphi 0 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 1 sqrt{3}
ctgvarphi sqrt{3} 1 genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle sqrt{3}} 0

Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.

Докажем теорему:

Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

В самом деле, пусть АВС и A_1B_1C_1 — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и C_1 и равными острыми углами А и A_1.

Треугольники АВС и A_1B_1C_1 подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому displaystyle frac{AB}{A_1 B_1}=frac{BC}{B_1 C_1}=frac{AC}{A_1 C_1 } .

Из этих равенств следует, что displaystyle frac{BC}{AB}=frac{B_1 C_1}{A_1 B_1} , т. е. sin А = sin A_1.

Аналогично, displaystyle frac{AC}{AB}=frac{A_1C_1}{A_1 B_1}, т. е. cos А = cosA_1, и displaystyle frac{BC}{AC}=frac{B_1C_1}{A_1 C_1}, т. е. tg A = tg A_1.

Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.

Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.

Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, sin A = 0,1. Найдите cos B.

Задача решается за четыре секунды.

Поскольку A+B = 90^{circ}, sin A = cos B = 0,1.

Задача 2В треугольнике ABC угол C равен 90^{circ}, AB=5, sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Найдите AC.

Решение:

sin A = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle a}{displaystyle c} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle BC}{displaystyle AB} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25}.

Отсюда

BC= genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 25} cdot AB = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 7}{displaystyle 5}.

Найдем AC по теореме Пифагора.

AC=sqrt{AB^2-BC^2} = genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 24}{displaystyle 5} = 4,8.

Ответ: 4,8.

Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.

Решение:

Для угла А противолежащий катет – это ВС,

АВ является гипотенузой треугольника, лежит против angle C. Значит, sin A displaystyle = frac{BC}{AB}= frac{5}{13}.

Катет, прилежащий к angle A – это катет АС, следовательно, cos⁡ А displaystyle = frac{AC}{AB}=frac{AC}{13}.

Длину катета АС найдем по теореме Пифагора: AC^2+BC^2=AB^2.

Тогда AC = sqrt{AB^2-BC^2}=sqrt{(13)^2-5^2}=sqrt{144}=12.

cos⁡ А displaystyle = frac{12}{13}=0,923 ... approx 0,92 ;

tg A displaystyle = frac{BC}{AC} = frac{5}{12}=0,416...approx 0,42.

Ответ: 0,92; 0,42.

Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.

Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 2, sin A= displaystyle frac{sqrt{17}}{17} .

Найдите BC.
Решение:

AC = b = 2, BC = a, AB = c.

Так как sin A displaystyle = frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{sqrt{17}}{17}, displaystyle frac{a}{c} = frac{sqrt{17}}{17} , displaystyle c = frac{17a}{sqrt{17}}=sqrt{17}a.

По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2, получим

a^2+2^2=(sqrt{17} a)^2;

a^2+4=17a^2;

16a^2=4, displaystyle a= frac{1}{2}=0,5;

BC = 0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ , AC = 4, tg A = displaystyle frac{33}{4sqrt{33}} . Найдите AB.

Решение:

AC = b = 4, tg A displaystyle = frac{a}{b}=frac{33}{4sqrt{33}},

displaystyle frac{a}{4}=frac{33}{4sqrt{33}}, displaystyle a=frac{4 cdot 33}{4 cdot sqrt{33}}=sqrt{33},

AB = c = sqrt{a^2+b^2}=sqrt{(sqrt{33})^2+4^2}=sqrt{33+16} =7.

Ответ: 7.

Задача 6.

В треугольнике АВС угол С равен 90^ circ, CH – высота, AB = 13, tg A = displaystyle frac{1}{5} . Найдите AH.

Решение:

AВ = с = 13, tg A = displaystyle frac{a}{b}=frac{1}{5} , тогда b = 5a.

По теореме Пифагора triangleABC: a^2+b^2=c^2,

a^2+(5a)^2=13^2,

26 a^2=169,

displaystyle a=sqrt{frac{169}{26}}=frac{13}{sqrt{26}}, тогда displaystyle b = 5a=5cdot frac{13}{sqrt{26}}=frac{65}{sqrt{26}}.

triangle AHC approx triangle ACB (по двум углам), следовательно displaystyle frac{AH}{AC}=frac{AC}{AB} , откуда

displaystyle AH = frac{AC^2}{AB}=frac{b^2}{c}=left ( frac{65}{sqrt{26}}right )^2:13=12,5.

Ответ: 12,5.

Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен 90^circ,

CH – высота, BC = 3, sin A = displaystyle frac{1}{6} .

Найдите AH.

Решение:

Так как sin A = displaystyle frac{a}{c} = frac{BC}{AB} = frac{1}{6}, тогда displaystyle frac{3}{c} = frac{1}{6} , c = АВ = 18.

sin A = displaystyle frac{a}{c} = cos⁡ B = displaystyle frac{1}{6} .

Рассмотрим triangle BHC:

{cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC} = displaystyle frac{1}{6} , получим displaystyle frac{BH}{3}=displaystyle frac{1}{6},

тогда BH = displaystyle frac{3}{6}=displaystyle frac{1}{2} = 0,5,

AH = AB — BH = 18 — 0,5 = 17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BC = 3, cos A = displaystyle frac{sqrt{35}}{6}.

Найдите АH.

Решение:

Так как для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}= sin В = displaystyle frac{sqrt{35}}{6},

а для triangle ВНС: sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{sqrt{35}}{6} , откуда СН = displaystyle frac{BC cdot  sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{3 cdot sqrt{35}}{6}=displaystyle frac{sqrt{35}}{2},

По теореме Пифагора найдем ВН:

BH = sqrt{{BC}^2-{CH}^2}=sqrt{3^2-{left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}=

=sqrt{9-displaystyle frac{35}{4}}=sqrt{displaystyle frac{1}{4}}=displaystyle frac{1}{2}=0,5.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для triangle АВС получим:

{CH}^2=AH cdot BH, тогда AH= displaystyle frac{ {CH}^2}{BH}, ; AH= displaystyle frac{ {left(displaystyle frac{sqrt{35}}{2}right)}^2}{0,5}=displaystyle frac{35 cdot 2}{4}=17,5.

Ответ: 17,5.

Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.

Решение:

По определению sin A= displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = {cos B}.

Рассмотрим triangle BHC : {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}.

ВС найдем по теореме Пифагора:

ВС= sqrt{{BH}^2+{CH}^2}=sqrt{7^2+{24}^2}=sqrt{49+576}=sqrt{625}=25,

тогда {cos B=  }displaystyle frac{BH}{BC}=displaystyle frac{7}{25}=0,28, а значит и sin A = {cos B  }= 0,28.

Ответ: 0,28.

Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.

Решение:

По определению sin A = displaystyle frac{a}{c} = displaystyle frac{BC}{AB} = ;   cos A = displaystyle frac{b}{c} = displaystyle frac{AC}{AB} = {sin B },

тогда tg A = displaystyle frac{sin A}{{cos A }}=displaystyle frac{cosB}{sinB}=ctgB, который найдем из triangle BHC:

ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{4}{8}=0,5.

Ответ: 0,5.

Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, tg A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АН.

Решение:

По определению tg A= displaystyle frac{BC}{AC}=ctgB=displaystyle frac{2}{3}.

Для triangle BHC: ctgB=displaystyle frac{BH}{CH}=displaystyle frac{2}{3} , значит displaystyle frac{12}{CH}=displaystyle frac{2}{3}, СН = displaystyle frac{12 cdot 3}{2}=18.

Для triangle АHC: tg A= displaystyle frac{CH}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, то displaystyle frac{18}{AH}=displaystyle frac{2}{3}, AH = displaystyle frac{18 cdot 3}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, BН = 12, sin A = displaystyle frac{2}{3}. Найдите АВ.

Решение:

Так как cos В = displaystyle frac{BC}{AB} = sin A = displaystyle frac{2}{3}.

Из triangle СВН имеем cos В = displaystyle frac{HB}{BC} = displaystyle frac{2}{3}, тогда ВС = displaystyle frac{3 cdot  HB}{2}=displaystyle frac{3 cdot 12}{2}=18.

В triangle АВС имеем sinA = displaystyle frac{BC}{AB} = displaystyle frac{2}{3}, тогда AВ = displaystyle frac{3 cdot BC}{2}=displaystyle frac{3 cdot 18}{2}=27.

Ответ: 27.

Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.

Решение:

Найдем НВ по теореме Пифагора из triangle ВСН:

HB = sqrt{BC^2-BH^2}=sqrt{20^2-12^2}=sqrt{(20-12)(20+12)}=

sqrt{8 cdot 32}= sqrt{8 cdot 2 cdot 16}=16.

sin В = displaystyle frac{CH}{BC} = displaystyle frac{12}{20}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=sin B=displaystyle frac{3}{5}, получили cos A = 0,6.

Найдем АС и АВ несколькими способами.

1-й способ.

Так как cos A = displaystyle frac{AC}{AB}=displaystyle frac{3}{5}, то пусть АС = 3х, АВ = 5х,

тогда по теореме Пифагора {AC}^2+{BC}^2= {AB}^2, получим {(3x)}^2+{(20)}^2= {(5x)}^2
{25x}^2-{9x}^2= {20}^2 ,

{16x}^2= {20}^2,

x^2= {left(displaystyle frac{20}{4}right)}^2,
х = 5 ( так как хtextgreater 0). Значит, AC=15,  AB=25.

2-й способ.

triangle HBC approx triangle CBA (по двум углам), значит displaystyle frac{HB}{CB}=frac{HC}{AC}=frac{BC}{AB} или displaystyle frac{16}{20}={12}{AC}={20}{AB} = k,

k = displaystyle frac{16}{20}=displaystyle frac{4}{5} , тогда displaystyle frac{12}{AC}=displaystyle frac{4}{5}, АС = displaystyle frac{12 cdot 5}{4}=15; displaystyle frac{20}{AB}=displaystyle frac{4}{5}, АВ = displaystyle frac{20 cdot 5}{4}=25.

3-й способ.

{CH}^2=AH cdot HB (высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда {12}^2=AH cdot 16, АН = 144:16 = 9.

АВ = АН + НВ = 9 + 16 = 25.

По теореме Пифагора найдем АС:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{25}^2-{20}^2}=sqrt{(25-20)(25+20)} = sqrt{5cdot 45}=sqrt{5cdot 5cdot 9}=15.

Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.

Задача 14.

Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.

Найдите АВ и cos А.

Решение:

Из прямоугольного triangle ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:

ВС = sqrt{{HC}^2+{BH}^2}=sqrt{{18}^2+{24}^2}=sqrt{324+576}= sqrt{900}=30;

cos C = displaystyle frac{HC}{BC}=displaystyle frac{18}{30}=displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АВС: sin А = displaystyle frac{BC}{AC} = cos C = displaystyle frac{3}{5}.

Для triangle АНВ: sin А = displaystyle frac{BH}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, то displaystyle frac{24}{AB} = displaystyle frac{3}{5}, АВ = displaystyle frac{24 cdot 5}{3}=40.

Из основного тригонометрического тождества найдем

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-0,36}=sqrt{0,64}=0,8.

Ответ: АВ = 40, cos A = 0,8.

Задача 15.

Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А = displaystyle frac{7}{25}.

Найдите площадь треугольника.

Решение:

В прямоугольном triangle АСЕ sin А = displaystyle frac{CE}{AC},

значит CE=AC cdot sinA=50 cdot displaystyle frac{7}{25} = 14.

Второй катет найдем, используя теорему Пифагора: AE= sqrt{{AC}^2-{CE}^2};

AE = sqrt{{50}^2-{14}^2}=sqrt{(50-14)(50+14)} =sqrt{36cdot 64}=6cdot8=48.

Площадь прямоугольного треугольника равна S = displaystyle frac{1}{2}ab,

поэтому S_{ACE}= displaystyle frac{1}{2} AEcdot CE=displaystyle frac{48cdot 14}{2}=336.

Ответ: 336.

Задача 16.

В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.

Найдите sin angle ACK. Результат округлите до сотых.

Решение:

triangle CAK approx triangle BAC ( angle A-общий, angle AKC=angle ACB=90{}^circ ),

значит angle ACK=angle ABC, sin angle ACK=displaystyle frac{AK}{AC}=displaystyle frac{AC}{AB}.

Найдем АС по теореме Пифагора из triangle САВ:

AC = sqrt{{AB}^2-{BC}^2}=sqrt{{13}^2-{12}^2}=

=sqrt{(13-12)(13+12)}=sqrt{25}= 5.

Тогда sin angle ACK=displaystyle frac{5}{13}=0,384..approx 0,38.

Ответ: 0,38.

Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = displaystyle frac{12}{13}. Найдите высоту СН.

Решение:

Так как АС = ВС, то triangle АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда

высота СН является медианой, то есть АН = НВ = displaystyle frac{1}{2}AB=36.

Поскольку triangle АСН — прямоугольный,

cos A = displaystyle frac{AH}{AC}= displaystyle frac{12}{13}, то есть displaystyle frac{36}{AC}= displaystyle frac{12}{13} Rightarrow АС = displaystyle frac{36 cdot 13}{12}=39.

По теореме Пифагора {AH}^2+{CH}^2={AC}^2, тогда

CH = sqrt{{AC}^2-{AH}^2} = sqrt{{39}^2-{36}^2}=

=sqrt{(39-36)(39+36)}=sqrt{3cdot 3cdot 25}=15.

Ответ: 15.

Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, sin A = displaystyle frac{11}{14}, AC = 10sqrt{3}. Найдите АВ.

Решение:

1-й способ.

Поскольку sin A = displaystyle frac{BC}{AB}= displaystyle frac{11}{14}, то можно обозначить

ВС = 11х, АВ = 14х.

По теореме Пифагора AC^2+{BC}^2={AB}^2;

{(10sqrt{3})}^2+{(11x)}^2={(14x)}^2;

{(14x)}^2-{(11x)}^2 = 3 cdot 100;

(14х- 11х)(14х + 11х) = 3 cdot 100;

3cdot 25 x^2 = 3 cdot 100.

x^2=4, учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,

следовательно, АВ = 14 cdot 2 = 28.

2-й способ.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством {sin}^2A+{cos}^2A=1;

cos A = sqrt{1-{sin}^2A}=sqrt{1-{left(displaystyle frac{11}{14}right)}^2}=sqrt{displaystyle frac{196-121}{196}}=sqrt{displaystyle frac{75}{196}}=displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

По определению cos A = displaystyle frac{AC}{AB}, значит displaystyle frac{AC}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}.

Так как АС=10sqrt{3}, то displaystyle frac{10sqrt{3}}{AB}= displaystyle frac{5sqrt{3}}{14}, откуда АВ = displaystyle frac{10sqrt{3} cdot 14}{5sqrt{3}} = 28.

Ответ: 28.

Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4sqrt{3} и 4.

Решение:

Пусть angle ВАО = alpha .

Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, angle DAO=angle BAO = alpha .

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = displaystyle frac{1}{2} AC=2sqrt{3}, а катет ВО = displaystyle frac{1}{2}BD =2.

Поэтому tgalpha =displaystyle frac{BO}{AO}=displaystyle frac{2}{2sqrt{3}}=displaystyle frac{1}{sqrt{3}}, откуда alpha =30{}^circ .

angle BAD=2alpha =60{}^circ , ; angle ADC=angle ABC=180{}^circ -60{}^circ =120{}^circ .

Ответ: {60}^circ, {120}^circ, {60}^circ, {120}^circ .

Часто в задачах встречаются треугольники с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} или с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ}. Основные соотношения для них запоминайте наизусть!

Прямоугольные треугольники с углами 30, 60, 90 и 45, 45, 90 градусов

Для треугольника с углами 90^{circ},, 30^{circ} и 60^{circ} катет, лежащий напротив угла в 30^{circ}, равен половине гипотенузы.

Треугольник с углами 90^{circ},, 45^{circ} и 45^{circ} — равнобедренный. В нем гипотенуза в sqrt{2} раз больше катета.

Задача 20.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, угол А равен 30{}^circ, АВ = 2sqrt{3} .

Найдите высоту CH.

Решение:

Рассмотрим triangle АВС:

По свойству катета, лежащего против угла {30}^circ, имеем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = sqrt{3}.

В triangle BHC: angle BHC=90{}^circ ,;  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно, ВН = displaystyle frac{1}{2} BC = displaystyle frac{sqrt{3}}{2}.

По теореме Пифагора найдем НС:

HC = sqrt{{BC}^2-{BH}^2}=sqrt{{left(sqrt{3}right)}^2-{left(displaystyle frac{sqrt{3}}{2}right)}^2}=sqrt{3-displaystyle frac{3}{4}}=

=sqrt{2displaystyle frac{1}{4}}=sqrt{displaystyle frac{9}{4}}=displaystyle frac{3}{2}=1,5.

Ответ: 1,5.

Задача 21.

В треугольнике АВС угол С равен 90{}^circ, CH — высота, АВ = 2, angle A=30{}^circ . Найдите АH.

Решение:

Из triangle АВС найдем ВС = displaystyle frac{1}{2} АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30{}^circ),

angle A=30{}^circ , то angle B=60{}^circ .

Из triangle ВСН: angle BHC=90{}^circ ,  angle B=60{}^circ , то angle HCB=30{}^circ , следовательно,

ВН = displaystyle frac{1}{2} ВС = displaystyle frac{1}{2}.

АН = АВ — НВ = 2 — displaystyle frac{1}{2} = 1,5.

Ответ: 1,5.

Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.

Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.

Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.

Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

§ 4. Синус, косинус, тангенс и котангенс тупого угла

Синус тупого угла равен синусу смежного с ним острого угла.

Косинус тупого угла равен косинусу смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».

Пример. Выберите верное равенство:

Видеорешение

Тангенс (котангенс) тупого угла равен тангенсу (котангенсу) смежного с ним острого угла, взятому со знаком «минус».

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов 30°, 45°, 60°.

Понравилась статья? Поделить с друзьями: